Falls das oben eingebettete Video nicht funktioniert, gibt es das Video natürlich auch direkt bei TED.

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Sehenswert sind auf jeden Fall die Versuche von Skytopia eine Art dreidimensionales Apfelmännchen zu erzeugen. Der Autor beschreibt hier mit vielen Links und eindrucksvollen Bildern die Suche nach diesem Objekt. Das bisher beste Ergebnis ist sicherlich die Mandelbulb – selbst SPON hat schon über die „Mandelknolle“ geschrieben.

Ein Blogger der sich praktisch ganz der Schönheit verschiedenster Fraktale widmet ist „Fraktale Welten“. Der Blogger versteht es auch, seine Fraktale ansprechend zu präsentieren, sodass sich Unmengen wunderschöner Bilder im Blog finden. Hier ein paar Beispiele. Ganz nebenbei gesagt: Was die Rechte an seinen Bildern angeht, scheint er ausgesprochen fair zu sein, ich spiele noch mit dem Gedanken, neben diesen Absatz ein Bild als Appetithäppchen aufzunehmen. Aber vorbeischauen lohnt sich in jedem Fall.

Natürlich gibt es außer mir auch noch andere, die Java-Progrämmchen zu Fraktalen online stellen, nur ist dort die Auswahl an unterschiedlichen Fraktalen deutlich größer (… aber die Zoomfunktion finde ich nicht so schön ).

Wenig überraschend gibt es auch in der Wikipedia so Allerlei: Begriffliches wie auch Mathematisches zu Fraktalen ganz allgemein und mit diversen Beispielen sowie enge Verwandte der Mandelbrotmenge. Und, auch wenn Fraktale nur eine von vielen Verwendungsmöglichkeiten von komplexen Zahlen sind, will ich hier doch noch einmal ausdrücklich auf den entsprechenden Artikel hinweisen.

Achja, weil man mittlerweile auch mit Lebensmitteln spielen darf noch das hier.

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Mandelbrotmenge

Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)

Ausschnitt der Mandelbrot-Menge

Hier also zunächst das Applet, weiter unten folgen noch einige Tipps zur Bedienung des Programms (die Mathematik der Mandelbrot-Menge wird hier erklärt.) Unter Umständen braucht das Applet einige Sekunden, bis es geladen wurde und startet. Dann kann man damit einfach die verschiedenen Bereiche der Mandelbrot-Menge erkunden und die unterschiedlichsten Muster und Selbstähnlichkeiten dieses Fraktals entdecken.

Verwendung

Ich hoffe eigentlich, dass die Bedienung einigermaßen selbsterklärend ist. Für alle, die Probleme und Fragen haben gibt es unten ein Kommentarfeld (ich behalte mir vor, die Kommentare auch sinngemäß in diesen Beitrag zu kopieren und dort zu antworten). Hier die wichtigsten Funktionen:

Mit der Maus (linke Taste bei normaler Belegung, vermutlich dicke Taste für Mac-Benutzer) lässt sich ein Rahmen aufziehen, in den anschließend mit „Aktualisieren“ (ganz unten breit) gezoomt werden kann – wie der ausgewählte Ausschnitt ins Fenster eingepasst wird, kann dabei oben rechts unter „Einpassen:“ ausgewählt werden. Wer wissen will, wie diese einzelnen Modi den gleichen ausgewählten Bereich in die Anzeigefläche einpassen, probiert es am besten aus. Noch ein kleiner Hinweis: Dort wo mit dem Aufziehen des Rahmens begonnen wird, befindet sich hinterher die linke obere Ecke, das heißt man kann auch nach links und oben ziehen (sieht dann allerdings keinen Rahmen) und so das Apfelmännchen spiegeln. (Für alle, die ihr Koordinatensystem lieber über Kopf aufspannen) Wer wieder von Vorn beginnen möchte kann einfach auf „Zurücksetzen“ und „Aktualisieren“ klicken, dann wird wieder der ursprüngliche Ausschnitt angezeigt.

Im unteren Teil des Programms lässt sich gezielt ein bestimmter Bereich des Apfelmännchens als Zahlenwert angeben. Wenn unten „korrekte Eingabe …“ angezeigt wird, wieder „Aktualisieren“ drücken, dann tut sich auch was …

Wer ein Bild der Mandelbrot-Menge berechnen möchte, das größer oder kleiner ist, als der Ausschnitt, der normalerweise angezeigt wird, kann das Häkchen vor „Folgende Größe verwenden“ setzen und entsprechende Werte einstellen. Werden zu große Werte eingestellt, wird allerdings der Speicherbedarf größer als die Menge an RAM die Java normalen Applets zur Verfügung stellt. Dann schmiert im schlimmsten Fall das Applet ab (praktisch tut es meistens einfach bis zur nächsten Bedienung gar nichts mehr). Wer Erfahrung mit der Konfiguration der JVM hat, kann daran herumspielen und den Zugriff auf mehr Speicherplatz freigeben; alle Anderen werden sich wohl mit Bildern von wenigen Megapixeln zufrieden geben müssen.

„Iterationen“ gibt an, wie viele Folgenglieder berechnet werden, um zu entscheiden, ob ein Punkt tatsächlich zur Mandelbrot-Menge dazu gehört. Ist der Wert sehr niedrig, werden mehr Punkte dazu gezählt (schwarz eingefärbt) als eigentlich dazu gehören, ist er sehr hoch rechnet das Programm eine halbe Ewigkeit (mit sehr hohen Werten und einer zusätzlichen Stoppuhr ist das Programm dann schon fast als Single-Core Java-Benchmark mit Schwerpunkt Fließkomma-Multiplikationen verwendbar).

Im Menü „Ansicht“ kann man zum Einen das Aussehen des Applets hässlicher machen (damit es sich mehr von der Schönheit der Mathematik absetzt), zum Anderen kann man die Koordinaten und die Anzahl der Iterationen teiltransparent rechts unten ins Bild schreiben lassen. Das macht besonders dann Sinn, wenn man das Bild abspeichert – in der aktuellen Version des Applets also eigentlich gar nicht. Aber vielleicht veröffentliche ich mal eine offline-Version in der die Funktion .jpg- oder .png-Dateien zu exportieren auch enthalten ist (Ich hab‘ sie schon ). Durch mehrfaches Einblenden der Informationen reduziert sich die Transparenz.

Wie alle Java-Applets wird dieses Programm auf Ihrem Browser ausgeführt und unterliegt dabei einigen Beschränkungen, damit Java-Applets nicht zum Sicherheitsrisiko für Ihren Computer werden (zum Beispiel sind keine Zugriffe auf Ihre Festplatte möglich – daher gibt es hier auch keine Funktion zum Abspeichern von Bildern). Die Berechnungen werden jedoch komplett auf Ihrem Computer ausgeführt und keine Informationen darüber zurück übertragen. Wenn Sie Ihre Internetverbindung nach dem Laden der Seite trennen, können Sie das Programm bis zum Schließen der Seite weiterverwenden. Wenn Sie viele Iterationen oder eine große Bildgröße ausgewählt haben, hat Ihr Prozessor Einiges zu tun, unter Umständen macht sich das in der Lautstärke des Lüfters bemerkbar.

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Wer weniger an der Technik als vielmehr am Herumspielen mit der Mandelbrotmenge interessiert ist, dem kann ich mein aufwändigeres Applet u.a. mit Zoomfunktion empfehlen.

An Mathematik brauchen wir nur die beiden Formeln (1) und (2) aus der Erklärung, die wir wie in der .pdf Datei unter „Wie kann ich das programmieren“ beschrieben berechnen. Hier sind die hier wesentlichen Abschnitte noch einmal als Auszug:

Die Formeln:

x_n+1 = x_n² – y _n² + a
y_n+1 = 2x_ny_n + b

Dies lässt sich nun ohne Kenntnis von komplexen Zahlen berechnen, wenn a und b bekannt sind (x₀ = y₀ = 0).

Die Beschreibung:

Um die Mandelbrot-Menge darstellen zu können, berechnet man für jeden Punkt des Bildes die Folge mit seinen Koordinaten a (üblicherweise nach rechts) und b (nach oben) entsprechend den Gleichungen oben. Dazu setzt man eine maximale Anzahl an Iterationen (das heißt Anzahl an Folgengliedern die berechnet werden) und prüft nach jeder Iteration ob x²+y²>4 ist. Falls ja, ist der Punkt mit den Koordinaten a und b definitiv nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Wenn diese Bedingung nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen noch nicht erfüllt ist, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass er Teil der Mandelbrot-Menge ist (je höher die Anzahl der Iterationen desto sicherer das Ergebnis). Die Punkte, die zur Mandelbrot-Menge gehören, werden dann (meist schwarz) eingefärbt.

Dabei muss man aufpassen, dass man bei der Berechnung des zweiten Terms nicht schon mit dem neuen Ergebnis aus der ersten Berechnung arbeitet. Umgesetzt in Java sieht die Funktion zur Berechnung, ob ein Punkt (wahrscheinlich) zur Mandelbrotmenge gehört dann folgendermaßen aus:

/**
 * Hier wird überprüft ob ein Punkt zur Mandelbrotmenge gehört.
 * 
 * @param a Der Realteil der komplexen Zahl
 * @param b Der Imaginärteil der komplexen Zahl
 * @return Gibt an ob ein Punkt Teil der Mandelbrotmenge ist
 */
private boolean isElement(double a, double b) {
    double x = 0, x2, y = 0;
    for (int n = 0; n < 400; n++) {
        x2 = x * x - y * y + a;
        y = 2 * x * y + b;
        x = x2;
        if (x * x + y * y > 4) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Diese Funktion muss dann nur für jedes Pixel mit den entsprechenden Koordinaten aufgerufen werden und die Punkte im Bild (hier ein java.awt.image.BufferedImage) entsprechend einfärbt werden:

private void renderImage() {
    int w = getWidth(), h = getHeight();
    img = new BufferedImage(w, h, BufferedImage.TYPE_INT_ARGB);
    double a, b;
    int c = new Color(0, 0, 0).getRGB();
 
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        b = (double) i * 3 / h - 1.5; //-1,5 <= b < 1,5
        for (int j = 0; j < w; j++) {
            a = (double) j * 3 / w - 2; //-2 <= a < 1
            if (isElement(a, b)) {
                img.setRGB(j, i, c); //schwarz einfärben
            }
        }
    }
}

Eingebaut in ein einfaches Java-Applet zur Anzeige des Bildes (der komplette, mindestens ab Java 5 kompilierbare, Quellcode findet sich hier), sieht das Ganze dann so aus:

Hinweis: In einigen Feed-Readern wird das Applet evtl. nicht angezeigt.

Dies ist der RSS-Feed von kapslog.de. Link zum ursprünglichen Beitrag: Mandelbrotmenge einfach selbst programmiert

Zoom in eigener Berechnung

Ich hoffe jedoch, dass sich mit solchen, für jedermann schön anzusehenden Fraktalen, auch die Begeisterung für Mathematik wecken lässt. Deshalb habe ich versucht eine, für interessierte Schüler schon in der Mittelstufe verständliche, Einführung zu verfassen. Sie sollte zum Einen als kleine Ergänzung des Schulstoffs im Mathematikunterricht geeignet sein, zum Anderen beschreibt sie aber auch, mit welchen Mitteln die Mandelbrot-Menge berechnet und dargestellt werden kann, ganz ohne dass man sich komplexen Zahlen beschäftigen muss. Damit kann man sich beispielsweise im Informatikunterricht ganz auf den Programmaufbau und das Programmieren konzentrieren.

Der Text ist in mehrere Abschnitte unterteilt: Nach einer kurzen Erklärung der imaginären Einheit wird die Definition der Mandelbrot-Menge angegeben und so umgeformt, dass alles mit reellen Zahlen berechnet werden kann. Dann wird erklärt, wie sich das alles in einem Programm umsetzen lässt (hier gibt es noch eine ausführlichere Erklärung mit Quellcode und lauffähigem Java-Applet). Abschließend gibt es noch Anregungen, welche Verbesserungen am Programm noch vorgenommen werden könnten. Und für alle diejenigen, die die Tiefen der Mandelbrot-Menge einfach selbst erkunden wollen, gibt es von mir noch ein entsprechendes Programm, das im Browser läuft.

Die Erklärung des Apfelmännchens für Schüler kann hier als .pdf-Datei heruntergeladen werden.

Dies ist der RSS-Feed von kapslog.de. Link zum ursprünglichen Beitrag: Apfelmännchen für die Schule

Die Mandelbrot-Menge ist ein Fraktal, das oft als das formenreichste geometrische Gebilde überhaupt bezeichnet wird. In die Randbereiche einer Darstellung dieser Menge (oft als „Apfelmännchen“ bezeichnet) kann man beliebig weit hinein zoomen und immer wieder neue, feinere Muster erkennen.

Da auf aktuellen Computern solche Bilder in Sekundenschnelle berechnet werden können, kann auch jeder selbst Fraktale erkunden oder sich mit den mathematischen Grundlagen dieser Gebilde auseinandersetzen.

Randbereich des Apfelmännchens

In der nächsten Zeit möchte ich zu diesem Thema verschiedene Beiträge verfassen, und hoffe, dass ich damit insbesondere Interessierte ohne besondere Fachkenntnisse auf diesem Gebiet für dieses und andere Fraktale begeistern kann.

Meine Beiträge zum Thema:

• Einfache mathematische Einführung (auch für Schüler)
• Anleitung zur Programmierung eines einfachen Java-Applets
• Interaktives Applet zum Erkunden des Fraktals
• Zusätzliche Infos und viele schöne Bilder zur Mandelbrotmenge und ähnlichen Fraktalen auf anderen Websites
• Ein Vortrag vom Entdecker des Apfelmännchens, Benoit Mandelbrot, über Fraktale

Dies ist der RSS-Feed von kapslog.de. Link zum ursprünglichen Beitrag: Vom „Apfelmännchen“: Die Mandelbrot-Menge