Benoit Mandelbrot spricht über Fraktale

Vor kurzem wurde ein TED-Talk vom Entdecker der Mandelbrot-Menge veröffentlicht (gehalten wurde er schon im Februar 2010). In seinem Vortrag spricht Benoit Mandelbrot über Fraktale allgemein und insbesondere auch über Fraktale Dimensionen und Fraktale Erscheinungen in der Natur. Außerdem berichtet er von seinen Eindrücken um die Entdeckung der Mandelbrotmenge (bekannt als Apfelmännchen) und streift diverse Themen wie zum Beispiel Raumfüllende Kurven oder Ansätze zur Modellierung von Aktienkursen.

Falls das oben eingebettete Video nicht funktioniert, gibt es das Video natürlich auch direkt bei TED.

Mehr Fraktale

Nachdem ich nun in meiner Serie zur Mandelbrotmenge bzw. Apfelmännchen einige Erklärungen und Java-Programme veröffentlicht habe, will ich nun auch noch auf verschiedene andere Angebote zur Mandelbrotmenge und auch anderen Fraktalen hinweisen. Hier also einige Links zu Apfelmännchen und Verwandtschaft.

Sehenswert sind auf jeden Fall die Versuche von Skytopia eine Art dreidimensionales Apfelmännchen zu erzeugen. Der Autor beschreibt hier mit vielen Links und eindrucksvollen Bildern die Suche nach diesem Objekt. Das bisher beste Ergebnis ist sicherlich die Mandelbulb – selbst SPON hat schon über die „Mandelknolle“ geschrieben.

Ein Blogger der sich praktisch ganz der Schönheit verschiedenster Fraktale widmet ist „Fraktale Welten“. Der Blogger versteht es auch, seine Fraktale ansprechend zu präsentieren, sodass sich Unmengen wunderschöner Bilder im Blog finden. Hier ein paar Beispiele. Ganz nebenbei gesagt: Was die Rechte an seinen Bildern angeht, scheint er ausgesprochen fair zu sein, ich spiele noch mit dem Gedanken, neben diesen Absatz ein Bild als Appetithäppchen aufzunehmen. Aber vorbeischauen lohnt sich in jedem Fall.

Natürlich gibt es außer mir auch noch andere, die Java-Progrämmchen zu Fraktalen online stellen, nur ist dort die Auswahl an unterschiedlichen Fraktalen deutlich größer (… aber die Zoomfunktion finde ich nicht so schön 😉 ).

Wenig überraschend gibt es auch in der Wikipedia so Allerlei: Begriffliches wie auch Mathematisches zu Fraktalen ganz allgemein und mit diversen Beispielen sowie enge Verwandte der Mandelbrotmenge. Und, auch wenn Fraktale nur eine von vielen Verwendungsmöglichkeiten von komplexen Zahlen sind, will ich hier doch noch einmal ausdrücklich auf den entsprechenden Artikel hinweisen.

Achja, weil man mittlerweile auch mit Lebensmitteln spielen darf noch das hier.

Apfelmännchen im Browser

Edit: Leider funktioniert das hier beschriebene Applet derzeit nicht, deshalb habe ich den Link dazu entfernt.

Darstellung der Mandelbrotmenge
Mandelbrotmenge

Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)

Apfelmännchen im Browser weiterlesen

Mandelbrotmenge einfach selbst programmiert

Darstellungen der Mandelbrotmenge (auch „Apfelmännchen“ genannt) sind mit das Schönste was die Mathematik zu bieten hat. Nachdem ich vor kurzem schon die mathematischen Grundlagen (.pdf-Datei) erklärt habe, will ich mich hier der Programmierung eines einfachen Java-Applets zur Anzeige des „Apfelmännchens“ widmen. Sowohl den vollständigen Programmcode als auch das eingebettete Applet finden Sie unten.

Wer weniger an der Technik als vielmehr am Herumspielen mit der Mandelbrotmenge interessiert ist, dem kann ich mein aufwändigeres Applet u.a. mit Zoomfunktion empfehlen.

An Mathematik brauchen wir nur die beiden Formeln (1) und (2) aus der Erklärung, die wir wie in der .pdf Datei unter „Wie kann ich das programmieren“ beschrieben berechnen. Hier sind die hier wesentlichen Abschnitte noch einmal als Auszug:

Die Formeln:

xn+1 = xn2 – y n2 + a
yn+1 = 2xnyn + b

Dies lässt sich nun ohne Kenntnis von komplexen Zahlen berechnen, wenn a und b bekannt sind (x0 = y0 = 0).

Die Beschreibung:

Um die Mandelbrot-Menge darstellen zu können, berechnet man für jeden Punkt des Bildes die Folge mit seinen Koordinaten a (üblicherweise nach rechts) und b (nach oben) entsprechend den Gleichungen oben. Dazu setzt man eine maximale Anzahl an Iterationen (das heißt Anzahl an Folgengliedern die berechnet werden) und prüft nach jeder Iteration ob x2+y2>4 ist. Falls ja, ist der Punkt mit den Koordinaten a und b definitiv nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Wenn diese Bedingung nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen noch nicht erfüllt ist, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass er Teil der Mandelbrot-Menge ist (je höher die Anzahl der Iterationen desto sicherer das Ergebnis). Die Punkte, die zur Mandelbrot-Menge gehören, werden dann (meist schwarz) eingefärbt.

Dabei muss man aufpassen, dass man bei der Berechnung des zweiten Terms nicht schon mit dem neuen Ergebnis aus der ersten Berechnung arbeitet. Umgesetzt in Java sieht die Funktion zur Berechnung, ob ein Punkt (wahrscheinlich) zur Mandelbrotmenge gehört dann folgendermaßen aus:
Mandelbrotmenge einfach selbst programmiert weiterlesen

Apfelmännchen für die Schule

Die als „Apfelmännchen“ bekannte Mandelbrot-Menge ist wahrscheinlich eines der schönsten Fraktale überhaupt. Die Berechnung, die zum Apfelmännchen führt, enthält jedoch komplexe Zahlen und ist deshalb normalerweise für Nichtmathematiker – insbesondere auch für Schüler – nicht nachvollziehbar.

Zomm in Visualisierung der Mandelbrot-Menge
Zoom in eigener Berechnung

Ich hoffe jedoch, dass sich mit solchen, für jedermann schön anzusehenden Fraktalen, auch die Begeisterung für Mathematik wecken lässt. Deshalb habe ich versucht eine, für interessierte Schüler schon in der Mittelstufe verständliche, Einführung zu verfassen. Sie sollte zum Einen als kleine Ergänzung des Schulstoffs im Mathematikunterricht geeignet sein, zum Anderen beschreibt sie aber auch, mit welchen Mitteln die Mandelbrot-Menge berechnet und dargestellt werden kann, ganz ohne dass man sich komplexen Zahlen beschäftigen muss. Damit kann man sich beispielsweise im Informatikunterricht ganz auf den Programmaufbau und das Programmieren konzentrieren.

Der Text ist in mehrere Abschnitte unterteilt: Nach einer kurzen Erklärung der imaginären Einheit wird die Definition der Mandelbrot-Menge angegeben und so umgeformt, dass alles mit reellen Zahlen berechnet werden kann. Dann wird erklärt, wie sich das alles in einem Programm umsetzen lässt (hier gibt es noch eine ausführlichere Erklärung mit Quellcode und lauffähigem Java-Applet). Abschließend gibt es noch Anregungen, welche Verbesserungen am Programm noch vorgenommen werden könnten. Und für alle diejenigen, die die Tiefen der Mandelbrot-Menge einfach selbst erkunden wollen, gibt es von mir noch ein entsprechendes Programm, das im Browser läuft.

Die Erklärung des Apfelmännchens für Schüler kann hier als .pdf-Datei heruntergeladen werden.

Vom „Apfelmännchen“: Die Mandelbrot-Menge

Darstellung der Mandelbrotmenge

Die Mandelbrot-Menge ist ein Fraktal, das oft als das formenreichste geometrische Gebilde überhaupt bezeichnet wird. In die Randbereiche einer Darstellung dieser Menge (oft als „Apfelmännchen“ bezeichnet) kann man beliebig weit hinein zoomen und immer wieder neue, feinere Muster erkennen.

Da auf aktuellen Computern solche Bilder in Sekundenschnelle berechnet werden können, kann auch jeder selbst Fraktale erkunden oder sich mit den mathematischen Grundlagen dieser Gebilde auseinandersetzen.

Teil der Mandelbrot-Menge
Randbereich des Apfelmännchens

In der nächsten Zeit möchte ich zu diesem Thema verschiedene Beiträge verfassen, und hoffe, dass ich damit insbesondere Interessierte ohne besondere Fachkenntnisse auf diesem Gebiet für dieses und andere Fraktale begeistern kann.

Meine Beiträge zum Thema: