Es gibt sowohl Wissenschaftler, die sich (wissenschaftlich!) mit Liebe auseinandersetzen als auch Humor, der sich im Spannungsfeld von Romantik und Wissenschaft bewegt. Beginnen wir also  – eigentlich nahe liegend – mit ein bisschen Neurowissenschaft und der Antwort auf die Frage, was ein verliebtes Hirn so treibt (auf Englisch, mit TED-Video!).

Auch der Spiegel schreibt gelegentlich über Wissenschaft und Liebe. Oder eben, wie hier, darüber, dass, wenn irgend ein australischer Wissenschaftler eine Formel für das optimale Heiratsalter publiziert (ob er es selbst ernst meint ist wohl nicht überliefert), der Rest der (Medien-?)Welt diese gerne als wissenschaftliches Ergebnis weiterplappert, ohne die Sinnhaftigkeit der Formel zu überprüfen.

Das Mathematik (auch) romantisch sein kann, zeigt dieser schöne Plot einer Funktion in einem Polarkoordinatensystem. Weniger passend zum Valentinstag, aber zeitlos schön (und mathematisch) sind in jedem Fall auch Fraktale. Hier ein paar Links zu besonders schönen Exemplaren. Und romantischer als ein Heiratsantrags-Generator sind sie allemal. Wobei – immerhin lässt sich auch der Textbaustein „Willst du auch Steuern sparen?“ auswählen. Wem das noch nicht pragmatisch genug ist, dem sei ein ganz sachliches Liebeslied von Tim Minchin ans Herz gelegt (Vorsicht, Liebesbriefe besser vor dem Anschauen schreiben!):

In eine ähnliche Kerbe schlägt auch der Macher von xkcd in einem Cartoon, der die Einzigartigkeit einer Beziehung etwas relativiert.

Bei alledem sollte man natürlich nicht vergessen, dass es auch Unterschiede zwischen Wissenschaft und Liebe gibt. So arbeitet dieser Cartoon die Widersprüche zwischen Mathematik und Beziehungen auf.

Randall Munroe (der Macher von xkcd – hatten wir gerade schon ‘mal, ich weiß) hat sich auch schon Gedanken über den Valentinstag aus Sicht eines Wissenschaftlers gemacht. Das Ergebnis ist eher bedrückend. Wobei ihn das Thema der wissenschaftlichen Analyse einer Beziehung irgendwie schon längers verfolgt, hier geht vermutlich etwas besser aus (bis jetzt).

Und zum Abschluss gibt es noch eine nicht ganz ernste Auseinandersetzung mit (verflossener) Liebe in einem Video aus der Serie „Kloß und Spinne“ (Teil 17, wer wirklich alle Gags verstehen will, muss sich die vorhergehenden 16 halt auch ansehen) – Vor allem die Dialoge des Autors Volker Strübing sind genial.

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Ich werde die einzelnen Beiträge hier verlinken:

• LaTeX: Das ideale Textsatzsystem für Texte mit vielen Formeln
• LyX – LaTeX-Dokumente in einer grafischen Oberfläche erstellen

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Deshalb habe ich hier ein paar Beispiele zusammengestellt, die (auf Deutsch) erklären, wie man bestimmte Aufgabentypen mit Wolfram Alpha bequem lösen kann:

Vorsicht: Wolfram Alpha ist grundsätzlich Englisch. Statt des Kommas muss als Dezimaltrennzeichen immer ein Punkt verwendet werden!

Grundrechenarten, Trigonometrie, Wurzeln und Potenzen

Als Symbole für die Grundrechenarten können einfach + , – , *  und / verwendet verwendet werden. Potenzen lassen sich in der Form e^x eingeben, Quadratwurzeln als sqrt(144) schreiben. Trigonometrische Funktionen heißen wenig überraschend sin(x), cos(x) , arcsin u.s.w., wobei Eingaben in Grad auch mit dem Grad-Zeichen gekennzeichnet werden sollten (links oben auf jeder normalen Tastatur). Wie bei den meisten Rechnern empfiehlt es sich auch hier, lieber ein paar Klammern zu viel als eine zu wenig zu setzen. Normalerweise zeigt Wolfram alpha auch noch einmal sauber dargestellt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

Dazu braucht jetzt niemand ein Beispiel, oder? (Ich höre niemanden …)

Nachtrag: mathematisches Runden (im Zweifel zur nächsten Geraden Zahl) geht mir „round(x)“, Abrunden funktioniert mit „floor(x)“ und Aufrunden mit „ceil(x)“. Und für das Rechnen mit komplexen Zahlen ist eventuell auch noch das komplex konjugierte einer Zahl nützlich, man erhält es mit „conjugate(2+2i)“. Auch mit Summen kann Wolfram Alpha selbstverständlich rechnen, unter anderem funktioniert folgende Darstellung: „sum 2^-j, j=1 to infinity“.

Und falls jemand einen Binomialkoeffizienten berechnet haben  möchte: 6 über 3 lässt sich sinnigerweise mit „binomial(6,3)“ berechnen.

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Zum Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten schreibt man am einfachsten “solve” gefolgt von der Gleichung und hängt hinten an die Gleichung noch mit „for“ an, nach welcher Variable aufgelöst werden soll (z.B. „solve a^2+4ab+b^2=1 for a“). Das Lösen von Ungleichungen funktioniert entsprechend, wobei zweidimensionale Ungleichungen sogar gelegentlich recht ansprechende Schaubilder produzieren.

Zum Lösen von Gleichungssystemen können die Gleichungen mit Kommata getrennt hintereinander geschrieben werden: „solve W=m*c^2,m=M/sqrt(1-v^2/c^2) for M“

Plotten von Funktionen

Um die Schaubilder von einer oder mehreren Funktionen zu erhalten scheibt man „plot“, dann die Funktionen (gegebenenfalls durch ein Komma getrennt) und falls gewünscht noch eine Begrenzung des Zeichenbereichs: “plot x^2,sin(5x^2)*x^2,x=0..3,y=0..5“.

Konstanten und Einheiten

Die elementaren mathematischen Konstanten werden normalerweise erkannt, wenn man einfach nur e, i (imaginäre Zahl) oder pi schreibt. Mit komplexen Zahlen rechnet Wolfram Alpha im Übrigen anstandslos. Für Unendlich schreibt man einfach „infinity“. Physikalische Konstanten lassen sich in der Regel mit zwei Worten beschreiben. Die Elementarladung etwa lässt sich mit „elementary charge“ oder auch „charge electron“ abfragen. Massen lassen sich entsprechend mit „mass proton“ oder Ähnlichem abfragen.

Bei Einheiten gilt im Zweifelsfall: Wenn die Abkürzung nicht erkannt wird, einfach die volle Bezeichnung verwenden.

Grenzwertbetrachtung

Den Grenzwert einer Funktion (Limes) erhält man am einfachsten mit der Form „lim e^-x as x->infinity“. Einseitige Grenzwerte lassen sich durch ein angehängtes + oder – kennzeichnen (auch wenn Wolfram Alpha trotzdem noch auf das “limit from opposite direction” hinweist).

Integrale und Ableitungen

Natürlich beherrscht Wolfram Alpha auch Differentialrechnung. Einfache Ableitungen funktionieren mit „derivative x^2“. Mehrfache Ableitungen funktionieren zum Beispiel mit „4th derivative x^5“, aber auch die Schreibweise „d^4(x^5)/dx^4“ ist zulässig.

Stammfunktionen (das heißt unbestimmte Integrale) lassen sich folgendermaßen berechnen: „integrate e^(ax) dx“. Bei bestimmten Integralen wird noch „from“ und „to“ angehängt: „integrate e^(ax) dx from 0 to a“.

Selbst die Lösung Differenzialgleichungen lässt sich berechnen, aber ich schaffe es im Moment nur durch die Eingabe der „nackten“ Gleichung „1/(R*C)=-d(f(t))/dt/f(t)“.

Vektoren und Matrizen

Vektoren werden in Wolfram Alpha mit geschweiften Klammern geschrieben, wobei die einzelnen Komponenten durch Kommata getrennt werden. Das Kreuzprodukt wird durch „*“ dargestellt, für das Skalarprodukt schreibt man die beiden Vektoren einfach direkt hintereinander. Die Länge eines Vektors erhält man beispielsweise mit „norm({1,1,0})“.

Matrizen werden grundsätzlich aus ihren Zeilenvektoren, die wiederum von Kommata getrennt in geschweifte Klammern geschrieben werden, zusammen gesetzt. Eine transponierte Matrix erhält man in Wolfram Alpha mit „transpose()“. Das Ganze sieht dann beispielsweise so aus: „{{0,1},{1,0}}*transpose{{x,y}}=transpose{{1,2}}“.

Weiteres

Da sich Wolfram Alpha weniger um strenge Syntax als um eine intuitive Interpretation bemüht, hilft im Zweifelsfall manchmal auch ein wenig ausprobieren. Oft bringt auch schon die Eingabe einer Formel/Gleichung o.ä. ohne weitere Anweisungen das Ergebnis.

Auch ein Blick auf die offiziellen Beispiele für die Verwendung von Wolfram Alpha (nicht nur für mathematische Anwendungen) ist oft hilfreich.

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Lichtstärke (in Candela)

Die Lichtstärke gibt an, wie viel Licht pro Richtung abgegeben wird. Damit lässt sich beispielsweise auch für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlen, für die verschiedenen Teile eines Strahles angeben, wie viel Licht in die jeweilige Richtung abgegeben wird. Die Lichtstärke entspricht physikalisch dem Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit und wird dementsprechend in Lumen pro Steradiant angegeben (dies ist die Definition der SI-Einheit Candela kurz cd).

Leuchtdichte (in Candela pro Quadratmeter)

Als wie hell wir eine abstrahlende Fläche empfinden hängt davon ab, wie viel Licht in Richtung unserer Augen pro Fläche abgegeben wird. Das heißt wir müssen um dies zu messen die Lichtstärke durch die Fläche von der das Licht ausgeht teilen und erhalten damit die Leuchtdichte in Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Spezifische Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke (in Lux)

Will man angeben wie viel Licht in einer bestimmten Umgebung auf Flächen bestimmter Größe einwirkt, das heißt wie hell es zum Beispiel in einem Raum insgesamt ist (dies wird als Beleuchtungsstärke bezeichnet), oder wie viel Licht entsprechend von einer Fläche in alle Richtungen abgestrahlt wird, so kann man dies in der Einheit Lux (kurz lx) tun. Ein Lux entspricht einem Lumen pro Quadratmeter (lm/m²).

Weitere Informationen

Mehr Informationen zu den einzelnen Größen und Einheiten findet sich großzügig verlinkt auf der Wikipediaseite zur Fotometrie und mit anschaulichen Grafiken und Beispielwerten auch in dieser .pdf-Datei.

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Dieser Zusammenhang wird in der Hellempfindlichkeitskurve dargestellt (sie unterscheidet zwischen Tag- und Nachtsehen). Hier kann abgelesen werden, wie hell Licht der gleichen Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge wahrgenommen wird, wobei der maximale Wert (bei Tagsehen 555nm grün) gleich Eins gesetzt wird. Wenn man die Leistungen der einzelnen Wellenlängen einer Lichtquelle mit den entsprechenden Werten dieser Kurve gewichtet und aufsummiert, erhält man den sogenannten Lichtstrom. Er ist damit die, an die menschliche Wahrnehmung angepasste, Entsprechung der Strahlungsleistung und wird natürlich nicht mehr in Watt sondern in der SI-Einheit Lumen (kurz lm) angegeben. Mit monochromatischem Licht von 555nm erhält man die theoretisch maximal mögliche Lichtausbeute von 683 Lumen pro Watt.

Interessant ist dieser Zusammenhang zum Beispiel bei Laserpointern: die Strahlungsleistung ist aus Sicherheitsgründen limitiert (je nach Klasse wenige Milliwatt). Der Lichtstrom ist damit direkt mit der Hellempfindlichkeitskurve verknüpft. Daraus folgt: Grüne Laser wirken deutlich heller als rote der gleichen Leistungsklasse.

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Licht jeder anderen Farbe ist aus verschiedenen Wellenlängen zusammengesetzt. Für die Mischung jeder dieser Farben aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen (additive Farbmischung) gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten. Um darzustellen wie eine Farbe zustande kommen kann gibt es eine sogenannte Normfarbtafel.

Wie so eine Farbtafel aussieht sieht man beispielsweise in der Wikipedia. Da die Form ein bisschen an einen Schuh erinnert, wird sie manchmal auch als „Schuhsohle“ bezeichnet.

Auf der Farbtafel sind die monochromatischen Farben als Kurve eingezeichnet, wobei die beiden Enden die Grenzen des sichtbaren Wellenlängenbereichs darstellen. Alle anderen Farben liegen im Inneren dieser Kurve. Wenn man nun zwei monochromatische Lichtstrahlen (entsprechen unterschiedlichen Punkten auf der Kurve) im Verhältnis eins zu eins mischt, dann erhält man genau die Farbe, die auf der Farbtafel in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt. Wenn mehr Licht einer Farbe verwendet wurde, liegt der Punkt auf der Farbtafel entsprechend näher an der entsprechenden Farbe. Natürlich können auf diese Weise auch mehr als zwei Lichtwellenlängen oder Farben gemischt werden.

Eine genauere Beschreibung gibt es in der Wikipedia unter den Stichworten Farbmetrik und Normvalenzsystem.

Mehr zur Beschreibung von Licht folgt demnächst hier.

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Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt:

• Wie setzen sich Farben aus Licht mehrerer Wellenlängen zusammen?
• Wie misst man die Helligkeitsempfindung?
• Verschiedene Größen und Einheiten zur Messung von Licht

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Update März ’10: Auch Astrodicticum Simplex hat Humor zum LHC gesammelt.

• xkcd (englisch aber gut – imo)
• Sehr bekannt waren auch die Überwachungskameras der Anlage
• Für Lolcat-Fans mal ganz ohne sichtbare Katze
• Von mir für besonders vorausschauende Menschen: Sicherheitshinweise für schwarze Löcher
• Bleibt noch die Frage www.hasthelargehadroncolliderdestroyedtheworldyet.com
• Durchaus ernst gemeint aber doch originell ist auch der LHC-Rap:

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Ich bitte um Beachtung im Interesse der Allgemeinheit!

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Eigentlich ist es wohl ein Astronomie-Blog – und würde mich als solches wahrscheinlich wenig interessieren: Ich will an dem Zeugs über das ich etwas wissen will lieber rumfrickeln können anstatt mir zu unmenschlichen Tageszeiten Nackenkrämpfe zu holen (ok, sicher mehr Klischee als Realität bei Astronomen und auch die wenigsten Physiker stehen heute noch den ganzen Tag neben ihren Experimenten, aber was soll ‘s). Tatsächlich ist die Astronomie im Blog aber fast nebensächlich, es geht um Höheres:

Oft schreibt der Autor über sehr allgemein naturwissenschaftliche Themen. Zur Zeit rezensiert (oder -seziert?) er kapitelweise das Buch “Der Drache in meiner Garage”, dass sich unter anderem mit der Rechtfertigung der (Natur-)Wissenschaften und Angriffen auf dieselben beschäftigt (in der Zusammenfassung sind die Rezensionen aller Kapitel verlinkt). Und in diesem Bereich bewegen sich auch viele seiner anderen Posts. Das heißt er schreibt beharrlich gegen Relativitätstheorie-Leugner, Astrologen und alle möglichen und unmöglichen (sonstigen) Parawissenschaftler an.

Und wenn er sie nicht gerade  verteidigt, bemüht er sich auch mal selbst um die Vermittlung von Wissenschaften. Einer der Höhepunkte war für mich eine Beitragsserie zu Chaos/Chaostheorie (im letzten Beitrag sind alle vorherigen verlinkt).

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Bill Gates hat sich die Rechte an den Videoaufzeichnungen (zumindest einiger) dieser “Feynman Lectures” gesichert. Frei zugänglich sind nun sieben jeweils knapp einstündige Physik-Vorlesungen. Wie zu befürchten, geschieht diese Veröffentlichung nicht ganz ohne wirtschaftliche Hintergedanken: Die Vorlesungen sind Teil eines Projekts mit dem Namen “Tuva”, das Silverlight und damit IE oder Firefox mit entsprechendem Plug-In voraussetzt und sich wohl mit der interaktiven Aufbereitung von Videos befasst. Dementsprechend ausführlich sind die Feynman-Lectures dann aber auch aufgearbeitet: Es sind Kommentare von Professoren vorgesehen und diverse zusätzliche Inhalte verknüpft sowie eine Vielzahl an Sprungmarken vorgesehen.

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Die Arbeiten

Der Preis des Bundespräsidenten geht dabei an eine Arbeit, bei der am Computer simuliert wurde, wie bestimmte Strukturen im All entstehen können. Damit gehört sie zu den relativ theoretischen Arbeiten des Wettbewerbs. Auf der anderen Seite gab es aber auch sehr praktische Arbeiten wie die Optimierung eines Härteverfahrens für Stahl. Einen Überblick über alle Bundessieger 2009 und deren Arbeiten gibt es auf der Website des Bundeswettbewerbs.

Der Wettbewerb

Der Jugend forscht Wettbewerb ist sicherlich einer der bekanntesten wissenschaftlichen Nachwuchswettbewerbe in Deutschland. Die Teilnahmebedingungen lassen den Wettbewerbsteilnehmern viele Freiheiten was die Ausgestaltung des Themas und dessen Bearbeitung betrifft. Dadurch ergibt sich immer auch eine große Vielfalt an Themen und Techniken mit denen diese bearbeitet werden.

Für alle Interessierten finden sich weitere Informationen unter anderem auch zu den Teilnahmebedingungen (fast identisch noch einmal hier?! ) an vielen Stellen im Internet. Einige der Wettbewerbsteilnehmer der vergangenen Jahre stellen ihre Arbeiten auch selbst noch einmal im Internet auf einer Website vor. Dazu gehört zum Beispiel dieses Java-Applet zur Quantenphysik aus dem Jugend forscht Wettbewerb 2003 (zum Schließen des Applets einfach die zugehörige Website verlassen).

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Anmerkung: Inzwischen habe ich auch noch einen Post über Ungenauigkeiten bzw. Fehler im Google-Rechner geschrieben. Außerdem gibt es einen ausführlichen Beitrag über die Mathe-Syntax von Wolfram Alpha.

Unten sind jeweils die entsprechenden Suchanfragen bei Google und Wolfram Alpha verlinkt.

Mathe

Eigentlich braucht man keinen Internetdienst zum Rechnen – trotzdem schlägt schon Google den Windows-Taschenrechner um Längen. Und jetzt kommt Wolfram Alpha von einem ausgewießenen Mathematiker.

Zum Vergleich: Eine einfache Rechenaufgabe bei Google und Wolfram Alpha: Google bietet mehr Nachkommastellen (sechs statt vier), zeigt aber die Formel genauso kryptisch an, wie man sie eingibt (bis auf ein zusätzliches Klammernpaar). Wolfram Alpha zeigt sich schon etwas großzügiger und gibt den Term noch einmal menschenfreundlich (mit Bruchstrich etc.) wieder, bevor es zum Ergebnis kommt.

Bei komplexen Zahlen sind grundsätzlich erst einmal wieder beide gleichauf: Google vs. Wolfram Alpha.

Beim Lösen einer einfachen quadratischen Gleichung fällt Google in den normalen Suchmodus, während Wolfram Alpha langsam in die Gänge kommt und beide Ergebnisse mit Darstellung als Wurzel ausgibt, sowie einen Plot der Funktion im relevanten Bereich mitliefert. Selbst Gleichungen mit umfangreicheren Lösungsmengen werden noch einwandfrei gelöst (die ebenfalls angebotene Alternativdarstellung ist in diesem Fall wohl nur selten hilfreich). Soweit man die entsprechende Syntax beherrscht, kann man zum Beispiel auch die dargestellten Bereiche geplotteter Funktionen mit angeben bzw. auf Mathematica-Syntax ausweichen. Zu bemerken ist hier auch, dass Wolfram Alpha Realteil und Imaginärteil der Funktion im gleichen Schaubild ausgibt.

Wolfram Alpha unterstützt auch das Auflösen von Gleichungen mit mehreren Unbekannten nach einer angegebenen Variable und zeigt dazu nach Klick auf einen Link neben dem Ergebnis sogar Umformschritte mit Textbeschreibung an (und zwar ausführlicher, als es die meisten Mathematiklehrer verlangen).

Gelegentlich ist es bei Wolfram Alpha ein Nachteil, dass die relevanten Ergebnisse irgendwo im Wulst von Alternativdarstellungen und Integralen untergehen, obwohl doch gerade die komprimierte Darstellung relevanter Information zu den Zielen dieser [was auch immer]-Maschine gehört. Zum Beispiel übersieht man hier leicht die unscheinbare “1″.

Ein bisschen Physik

Einfache Rechnungen mit physikalischen Einheiten funktionieren auch noch sowohl bei Google als auch bei Wolfram Alpha, wobei die verschiedenen Darstellungen von Wolfram Alpha hier tatsächlich sinnvoll wirken, während Google beispielsweise den Druck grundsätzlich in Pascal angibt, sodass gelegentlich Nullen gezählt werden müssen.

Als einfaches Nachschlagewerk für physikalische Größen ist Wolfram Alpha dann geeignet, wenn lediglich Gleichungen gesucht sind. Für ausführlichere Erklärungen sind wohl weiterhin Wikipedia oder andere menschengeschriebene Seiten die Informationsquelle der Wahl.

Fazit

Beide Dienste lassen sich auch für verschiedene Berechnungen verwenden, wobei diese Verwendung bei Wolfram Alpha offensichtlich mehr im Zentrum steht als bei Google. Dort hat man bei der Entwicklung des Webdienstes wohl in größerem Stil Funktionen aus Mathematica integriert. Dementsprechend sind dort viele der entsprechenden Funktionen wesentlich besser ausgebaut. Die Performance war aber zum Testzeitpunkt noch nicht auf dem Niveau von Google.

Wolfram Alpha kann sicherlich auch bei der Arbeit für die Schule eine interessante Hilfestellung als Formelsammlung, Plotter und Rechner sein. Vielleicht müssen sich in Zukunft Lehrer noch mehr Gedanken darüber machen, wie sie ihre Schüler dazu bringen, bei ihren Hausaufgaben zumindest einfache Rechnungen im Kopf (oder auf dem Papier) zu machen. Zur Lösung von Aufgaben in Prüfungen jedenfalls wird in nächster Zeit wohl kaum Internet zur Verfügung stehen – aber dafür gibt es ja (grafikfähige) Taschenrechner.

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