Hilfsmittel für Mathematik, Physik & Co

Der Computer kann einen bei vielen (Haus-)Aufgaben gerade auch in den Fächern Mathematik und Physik auf unterschiedliche Weise unterstützen. Sei es die Kontrolle von Aufgaben, die von Hand gerechnet wurden, die Berechnung von Ableitungen und Integralen, die sich nur schwierig oder gar nicht mit dem Wissen aus der Schule berechnen lassen oder die saubere Darstellung von Formeln in Protokollen oder Ausarbeitungen. Es gibt für diese Aufgaben eine ganze Reihe kostenloser Programme, die für Schüler und alle Anderen, die ein wenig Motivation mitbringen, sich in etwas Neues einzuarbeiten, äußerst nützlich sein können. Mit einer Beitragsserie zu diesen Programmen will ich einige ausgewählte kurz vorstellen.

Ich werde die einzelnen Beiträge hier verlinken:

Rechnen mit Wolfram Alpha – Die Syntax

Wie ich vor einiger Zeit schon einmal beschrieben habe, kann man sowohl mit Wolfram Alpha als auch mit Google viele Berechnungen schnell im Browser durchführen. Gerade Wolfram Alpha ersetzt dabei nicht nur den Windows Rechner sondern kann auch mathematische Aufgaben übernehmen, die sonst grafischen Taschenrechnern und Computeralgebrasystemen vorbehalten sind – und das für den Privatgebrauch kostenlos (wenn man nicht gerade mit dem IPhone unterwegs ist, für das gibt ’s natürlich eine App, aber nicht umsonst 😉 ). Eine Besonderheit von Wolfram Alpha ist dabei noch, dass es zusätzlich zur Lösung noch eine größere Menge an Zusatzinformationen und oft sogar einen Lösungsweg angibt. Während Wolfram Alpha bei einfacheren Aufgaben noch recht gut errät, was der Benutzer eigentlich wollte, kommt es bei komplexeren Aufgaben aber gelegentlich zu Kommunikationsproblemen.

Deshalb habe ich hier ein paar Beispiele zusammengestellt, die (auf Deutsch) erklären, wie man bestimmte Aufgabentypen mit Wolfram Alpha bequem lösen kann:

Vorsicht: Wolfram Alpha ist grundsätzlich Englisch. Statt des Kommas sollte als Dezimaltrennzeichen immer ein Punkt verwendet werden! Wem allerdings ein englischer Fachbegriff gerade nicht einfällt, der kann es durchaus mal auf Deutsch versuchen. Machmal erkennt Wolfram Alpha, dass eine gestellte Anfrage auf Deutsch mehr Sinn macht und versucht eine Übersetzung vom Deutschen ins Englische. So ergibt zum Beispiel die (deutsche) Anfrage „Ableitung von x^3“ die korrekte Antwort (allerdings auf Englisch).

Grundrechenarten, Trigonometrie, Wurzeln und Potenzen

Als Symbole für die Grundrechenarten können einfach + , – , *  und / verwendet verwendet werden. Potenzen lassen sich in der Form e^x eingeben, Quadratwurzeln als sqrt(144) schreiben. Trigonometrische Funktionen heißen wenig überraschend sin(x), cos(x) , arcsin u.s.w., wobei Eingaben in Grad auch mit dem Grad-Zeichen gekennzeichnet werden sollten (links oben auf jeder normalen Tastatur). Wie bei den meisten Rechnern empfiehlt es sich auch hier, lieber ein paar Klammern zu viel als eine zu wenig zu setzen. Normalerweise zeigt Wolfram alpha auch noch einmal sauber dargestellt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

Dazu braucht jetzt niemand ein Beispiel, oder? (Ich höre niemanden …)

Nachtrag: mathematisches Runden (im Zweifel zur nächsten Geraden Zahl) geht mir „round(x)“, Abrunden funktioniert mit „floor(x)“ und Aufrunden mit „ceil(x)“. Und für das Rechnen mit komplexen Zahlen ist eventuell auch noch das komplex konjugierte einer Zahl nützlich, man erhält es mit „conjugate(2+2i)“. Auch mit Summen kann Wolfram Alpha selbstverständlich rechnen, unter anderem funktioniert folgende Darstellung: „sum 2^-j, j=1 to infinity“.

Und falls jemand einen Binomialkoeffizienten berechnet haben  möchte: 6 über 3 lässt sich sinnigerweise mit „binomial(6,3)“ berechnen.

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Zum Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten schreibt man am einfachsten „solve“ gefolgt von der Gleichung und hängt hinten an die Gleichung noch mit „for“ an, nach welcher Variable aufgelöst werden soll (z.B. „solve a^2+4ab+b^2=1 for a“). Das Lösen von Ungleichungen funktioniert entsprechend, wobei zweidimensionale Ungleichungen sogar gelegentlich recht ansprechende Schaubilder ergeben.

Zum Lösen von Gleichungssystemen können die Gleichungen mit Kommata getrennt hintereinander geschrieben werden: „solve W=m*c^2,m=M/sqrt(1-v^2/c^2) for M

Plotten von Funktionen

Um die Schaubilder von einer oder mehreren Funktionen zu erhalten scheibt man „plot“, dann die Funktionen (gegebenenfalls durch ein Komma getrennt) und falls gewünscht noch eine Begrenzung des Zeichenbereichs: „plot x^2,sin(5x^2)*x^2,x=0..3,y=0..5„.

Konstanten und Einheiten

Die elementaren mathematischen Konstanten werden normalerweise erkannt, wenn man einfach nur e, i (imaginäre Zahl) oder pi schreibt. Mit komplexen Zahlen rechnet Wolfram Alpha im Übrigen anstandslos. Für Unendlich schreibt man einfach „infinity“. Physikalische Konstanten lassen sich in der Regel mit zwei Worten beschreiben. Die Elementarladung etwa lässt sich mit „elementary charge“ oder auch „charge electron“ abfragen. Massen lassen sich entsprechend mit „mass proton“ oder Ähnlichem abfragen.

Bei Einheiten gilt im Zweifelsfall: Wenn die Abkürzung nicht erkannt wird, einfach die volle Bezeichnung verwenden.

Grenzwertbetrachtung

Den Grenzwert einer Funktion (Limes) erhält man am einfachsten mit der Form „lim e^-x as x->infinity“. Einseitige Grenzwerte lassen sich durch ein angehängtes + oder – kennzeichnen (auch wenn Wolfram Alpha trotzdem noch auf das „limit from opposite direction“ hinweist).

Integrale und Ableitungen

Natürlich beherrscht Wolfram Alpha auch Differentialrechnung. Einfache Ableitungen funktionieren mit „derivative x^2“. Mehrfache Ableitungen funktionieren zum Beispiel mit „4th derivative x^5“, aber auch die Schreibweise „d^4(x^5)/dx^4“ ist zulässig.

Stammfunktionen (das heißt unbestimmte Integrale) lassen sich folgendermaßen berechnen: „integrate e^(ax) dx“. Bei bestimmten Integralen wird noch „from“ und „to“ angehängt: „integrate e^(ax) dx from 0 to a“.

Selbst die Lösung Differenzialgleichungen lässt sich berechnen, aber ich schaffe es im Moment nur durch die Eingabe der „nackten“ Gleichung „1/(R*C)=-d(f(t))/dt/f(t)“.

Vektoren und Matrizen

Vektoren werden in Wolfram Alpha mit geschweiften Klammern geschrieben, wobei die einzelnen Komponenten durch Kommata getrennt werden. Das Kreuzprodukt wird durch „*“ dargestellt, für das Skalarprodukt verwendet man stattdessen einen Punkt (zum Beispiel „{3,1,2}.{1,-2,3}“). Die Länge eines Vektors erhält man beispielsweise mit „norm({1,1,0})“.

Matrizen werden grundsätzlich aus ihren Zeilenvektoren, die wiederum von Kommata getrennt in geschweifte Klammern geschrieben werden, zusammen gesetzt. Eine transponierte Matrix erhält man in Wolfram Alpha mit „transpose()“. Das Ganze sieht dann beispielsweise so aus: „{{0,1},{1,0}}*transpose{{x,y}}=transpose{{1,2}}“.

Weiteres

Da sich Wolfram Alpha weniger um strenge Syntax als um eine intuitive Interpretation bemüht, hilft im Zweifelsfall manchmal auch ein wenig ausprobieren. Oft bringt auch schon die Eingabe einer Formel/Gleichung o.ä. ohne weitere Anweisungen das Ergebnis.

Auch ein Blick auf die offiziellen Beispiele für die Verwendung von Wolfram Alpha (nicht nur für mathematische Anwendungen) ist oft hilfreich.

Edit 27.05.2013: Nach Hinweis eines Lesers (vielen Dank dafür) die Beschreibung des Skalarprodukts korrigiert/aktualisiert.

Edit 12.04.2014: Kleine Überarbeitung an Text (vor allem zum Umgang mit deutschsprachigen Anfragen) und Darstellung.

Viel Licht – wie wird das gemessen?

In meinem letzten Post zum Thema Licht habe ich mich mit dem Unterschied zwischen der fotometrischen Einheit Lumen und (radiometrischen) Einheit Watt beschäftigt. Neben dem in Lumen (lm) gemessenen Lichtstrom gibt es aber noch eine ganze Reihe weiterer fotometrischer Größen und Einheiten, die man braucht, um Licht in verschiedenen Situationen korrekt zu beschreiben. Sie alle hängen direkt mit der Definition des Lumen zusammen. Hier eine kompakte Übersicht:

Lichtstärke (in Candela)

Die Lichtstärke gibt an, wie viel Licht pro Richtung abgegeben wird. Damit lässt sich beispielsweise auch für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlen, für die verschiedenen Teile eines Strahles angeben, wie viel Licht in die jeweilige Richtung abgegeben wird. Die Lichtstärke entspricht physikalisch dem Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit und wird dementsprechend in Lumen pro Steradiant angegeben (dies ist die Definition der SI-Einheit Candela kurz cd).

Leuchtdichte (in Candela pro Quadratmeter)

Als wie hell wir eine abstrahlende Fläche empfinden hängt davon ab, wie viel Licht in Richtung unserer Augen pro Fläche abgegeben wird. Das heißt wir müssen um dies zu messen die Lichtstärke durch die Fläche von der das Licht ausgeht teilen und erhalten damit die Leuchtdichte in Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Spezifische Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke (in Lux)

Will man angeben wie viel Licht in einer bestimmten Umgebung auf Flächen bestimmter Größe einwirkt, das heißt wie hell es zum Beispiel in einem Raum insgesamt ist (dies wird als Beleuchtungsstärke bezeichnet), oder wie viel Licht entsprechend von einer Fläche in alle Richtungen abgestrahlt wird, so kann man dies in der Einheit Lux (kurz lx) tun. Ein Lux entspricht einem Lumen pro Quadratmeter (lm/m²).

Weitere Informationen

Mehr Informationen zu den einzelnen Größen und Einheiten findet sich großzügig verlinkt auf der Wikipediaseite zur Fotometrie und mit anschaulichen Grafiken und Beispielwerten auch in dieser .pdf-Datei.

Wahrnehmung von Licht: Lumen vs. Watt

Wenn man Licht quantitativ bestimmen will, könnte man natürlich im Prinzip einfach die Lichtleistung in Watt angeben. Allerdings nimmt das Auge Licht der verschiedenen Wellenlängen sehr unterschiedlich intensiv wahr. So braucht man bei blauem Licht mehr als zehn Mal mehr Leistung als bei grünem, um das gleiche Helligkeitsempfinden zu erzeugen.

Dieser Zusammenhang wird in der Hellempfindlichkeitskurve dargestellt (sie unterscheidet zwischen Tag- und Nachtsehen). Hier kann abgelesen werden, wie hell Licht der gleichen Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge wahrgenommen wird, wobei der maximale Wert (bei Tagsehen 555nm grün) gleich Eins gesetzt wird. Wenn man die Leistungen der einzelnen Wellenlängen einer Lichtquelle mit den entsprechenden Werten dieser Kurve gewichtet und aufsummiert, erhält man den sogenannten Lichtstrom. Er ist damit die, an die menschliche Wahrnehmung angepasste, Entsprechung der Strahlungsleistung und wird natürlich nicht mehr in Watt sondern in der SI-Einheit Lumen (kurz lm) angegeben. Mit monochromatischem Licht von 555nm erhält man die theoretisch maximal mögliche Lichtausbeute von 683 Lumen pro Watt.

Interessant ist dieser Zusammenhang zum Beispiel bei Laserpointern: die Strahlungsleistung ist aus Sicherheitsgründen limitiert (je nach Klasse wenige Milliwatt). Der Lichtstrom ist damit direkt mit der Hellempfindlichkeitskurve verknüpft. Daraus folgt: Grüne Laser wirken deutlich heller als rote der gleichen Leistungsklasse.

Farbmischung und Schuhsohle

Licht, das wir im Alltag sehen, setzt sich meistens aus einer Vielzahl unterschiedlicher Wellenlängen zusammen. Im Wellenlängenbereich den unser Auge wahrnehmen kann (ca. 380 nm bis 760 nm) entspricht jede Wellenlänge einer Farbe. Licht, das aus nur einer Wellenlänge besteht (kommt praktisch fast nur bei Gasentladungslampen und Lasern vor) hat dabei sehr kräftige Farben (Spektralfarben) und wird „monochromatisches Licht“ genannt.

Licht jeder anderen Farbe ist aus verschiedenen Wellenlängen zusammengesetzt. Für die Mischung jeder dieser Farben aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen (additive Farbmischung) gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten. Um darzustellen wie eine Farbe zustande kommen kann gibt es eine sogenannte Normfarbtafel.

Wie so eine Farbtafel aussieht sieht man beispielsweise in der Wikipedia. Da die Form ein bisschen an einen Schuh erinnert, wird sie manchmal auch als „Schuhsohle“ bezeichnet.

Auf der Farbtafel sind die monochromatischen Farben als Kurve eingezeichnet, wobei die beiden Enden die Grenzen des sichtbaren Wellenlängenbereichs darstellen. Alle anderen Farben liegen im Inneren dieser Kurve. Wenn man nun zwei monochromatische Lichtstrahlen (entsprechen unterschiedlichen Punkten auf der Kurve) im Verhältnis eins zu eins mischt, dann erhält man genau die Farbe, die auf der Farbtafel in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt. Wenn mehr Licht einer Farbe verwendet wurde, liegt der Punkt auf der Farbtafel entsprechend näher an der entsprechenden Farbe. Natürlich können auf diese Weise auch mehr als zwei Lichtwellenlängen oder Farben gemischt werden.

Eine genauere Beschreibung gibt es in der Wikipedia unter den Stichworten Farbmetrik und Normvalenzsystem.

Mehr zur Beschreibung von Licht folgt demnächst hier.

Die Erleuchtung – Licht messen und beschreiben

Licht spielt nicht nur im naturwissenschaftlichen Unterricht sondern auch im Alltag für uns eine wichtige Rolle (die meisten werden diesen Text mithilfe von Licht aufnehmen). Nachdem in der Schule selten wirklich übersichtlich dargestellt wird, was Helligkeit, Lichtstärke, Lichtstrom und diverse weitere Größen eigentlich sind und je nach Fach und Lehrer diese Größen auch nicht immer ganz korrekt verwendet werden, will ich mich in der nächsten Zeit unter anderem mit der Messung und Beschreibung von Licht beschäftigen.

Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt:

Humor zum LHC

Als der geplante Anlauf des LHCs (Large-Hardron Collider) am CERN vor etwa einem Jahr (der ja bekanntlich ziemlich schnell und ungeplant wieder zu Ende ging) bevorstand, gab es ein paar interessante Gags dazu im Netz. Dabei ging es im Wesentlichen um den mancherorts befürchteten Weltuntergang durch die Entstehung eines schwarzen Loches. Nachdem das LHC im Moment mal wieder in Betrieb genommen wird (hoffentlich mit mehr Erfolg), habe ich hier noch einmal ein paar nette Fundstücke im Netz aus dieser guten alten Zeit zusammen getragen:

Update März ’10: Auch Astrodicticum Simplex hat Humor zum LHC gesammelt.

Sicherheitshinweise für den Umgang mit schwarzen Löchern

Die Angst davor, in einem schwarzen Loch zu enden, beschäftigt zur Zeit wegen der Inbetriebnahme des LHCs wieder viele. Praktische Hinweise für den Umgang mit gefährlichen schwarzen Löchern sind jedoch immer noch Mangelware.
Ich habe für den Fall der Fälle daher Verhaltensrichtlinien für Begegnungen mit einem schwarzen Loch entwickelt. Sie richten sich nach neuesten Erkenntnissen des Kap’s Logs und werden regelmäßig mindestens bei jedem Weltuntergang aktualisiert. Trotzdem kann ich natürlich keine Haftung für die Richtigkeit der Angaben übernehmen.
  1. Keine Ruhe bewahren! Schwarze Löcher sind extrem spontan: Sie können in kürzester Zeit alles in ihrer Umgebung verschlingen oder in Sekundenbruchteilen selbst verschwinden. Handeln Sie daher so schnell wie irgendwie möglich, sonst ist es zu spät. Spielen Sie regelmäßig das Verhalten beim Auftauchen von schwarzen Löchern durch, damit Sie im Ernstfall schnellstmöglich reagieren können.
  2. Verifizieren Sie, dass es sich tatsächlich um ein schwarzes Loch handelt: Auch wenn man das schwarze Loch selbst nicht sieht, sind um das eigentliche schwarze Loch herum deutliche und charakteristische optische Verzerrungen zu sehen. Falls nicht, handelt es sich wahrscheinlich um einen Fehler in Ihren Augen, auf Ihrem Bildschirm oder einfach nur um eine plumpe Fälschung. Falls sich herausstellt, dass Sie es nicht mit einem echten schwarzen Loch zu tun haben, sondern sich jemand einen Scherz mit Ihnen erlaubt hat, erübrigen sich normalerweise alle weiteren Schritte.
  3. Abstand halten, nicht streicheln oder füttern: Alles was in die Nähe des schwarzen Loches kommt wird von ihm angezogen und einverleibt. Damit wird das schwarze Loch noch größer und mächtiger. Daher ist es wichtig, sich selbst und alle größeren beweglichen Gegenstände vom schwarzen Loch fernzuhalten. Falls Sie es nicht mehr schaffen, rechtzeitig zu fliehen, sollten sie sich möglichst klein machen, dann dauert es etwas länger, bis Sie zerrissen werden (vgl. Spaghettisierung) und sie können dieses einmalige und aufregende Erlebnis länger (auf die Zeitachse bezogen) genießen.
  4. Polizei, CERN und mich alarmieren. Die Polizei sollte so schnell wie möglich das Gebiet weiträumig absichern, auf eine Festnahme des schwarzen Loches sollte aus Sicherheitsgründen verzichtet werden. Das CERN hat ein ungeheures wissenschaftliches Interesse an schwarzen Löchern. Außerdem bitte  darum, mich bei Sichtung eines schwarzen Loches unverzüglich zu informieren, damit ich und alle Leser dieses Blogs von Ihren Erfahrungen profitieren können und wir alle in Zukunft noch sicherer Leben können (wenn überhaupt).
  5. Beweise sichern. Wo kam das schwarze Loch her (eventuelle Löcher in der Wand)? Wie hat es sich bewegt? Was hat es beschädigt (für die Versicherung)? Man sollte jedes Detail genauestens protokollieren und wenn möglich auch mit Foto oder Videokamera festhalten. Auch scheinbar Unwichtiges kann später in der Untersuchung sehr bedeutsam sein.
  6. Vermarktungsrechte sichern. Stellen Sie sicher, dass sich niemand an ihren Aufnahmen und Protokollen vergreift und sorgen Sie dafür, dass jeder Fotograf eine Erklärung unterschreibt, in der er alle Verwertungsrechte an den Bildern an Sie abtritt (gegebenenfalls vorher von einem Anwalt ein entsprechendes Formular ausarbeiten lassen und dabei mindestens 10% Provision für mich vorsehen). Dabei sollte unbedingt bedacht werden, dass gerade urheberrechtliche Fragen in Urlaubsländern zum Teil anders gehandhabt werden. Dies ist gerade auch deshalb von Bedeutung, da die Sichtungswahrscheinlichkeit von schwarzen Löchern in unbekanntem oder ethanolhaltigem Terrain drastisch ansteigt.
Ich bitte um Beachtung im Interesse der Allgemeinheit! 😉
kapslog.de