Archiv der Kategorie: MINT

Viel Licht – wie wird das gemessen?

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In meinem letzten Post zum Thema Licht habe ich mich mit dem Unterschied zwischen der fotometrischen Einheit Lumen und (radiometrischen) Einheit Watt beschäftigt. Neben dem in Lumen (lm) gemessenen Lichtstrom gibt es aber noch eine ganze Reihe weiterer fotometrischer Größen und Einheiten, die man braucht, um Licht in verschiedenen Situationen korrekt zu beschreiben. Sie alle hängen direkt mit der Definition des Lumen zusammen. Hier eine kompakte Übersicht:

Lichtstärke (in Candela)

Die Lichtstärke gibt an, wie viel Licht pro Richtung abgegeben wird. Damit lässt sich beispielsweise auch für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlen, für die verschiedenen Teile eines Strahles angeben, wie viel Licht in die jeweilige Richtung abgegeben wird. Die Lichtstärke entspricht physikalisch dem Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit und wird dementsprechend in Lumen pro Steradiant angegeben (dies ist die Definition der SI-Einheit Candela kurz cd).

Leuchtdichte (in Candela pro Quadratmeter)

Als wie hell wir eine abstrahlende Fläche empfinden hängt davon ab, wie viel Licht in Richtung unserer Augen pro Fläche abgegeben wird. Das heißt wir müssen um dies zu messen die Lichtstärke durch die Fläche von der das Licht ausgeht teilen und erhalten damit die Leuchtdichte in Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Spezifische Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke (in Lux)

Will man angeben wie viel Licht in einer bestimmten Umgebung auf Flächen bestimmter Größe einwirkt, das heißt wie hell es zum Beispiel in einem Raum insgesamt ist (dies wird als Beleuchtungsstärke bezeichnet), oder wie viel Licht entsprechend von einer Fläche in alle Richtungen abgestrahlt wird, so kann man dies in der Einheit Lux (kurz lx) tun. Ein Lux entspricht einem Lumen pro Quadratmeter (lm/m²).

Weitere Informationen

Mehr Informationen zu den einzelnen Größen und Einheiten findet sich großzügig verlinkt auf der Wikipediaseite zur Fotometrie und mit anschaulichen Grafiken und Beispielwerten auch in dieser .pdf-Datei.

Bundeswettbewerb Mathematik 2010: Die Lösungen zur 1. Runde

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Kommentar

Mittlerweile ist bereits der Bundeswettbewerb Mathematik 2011 gestartet. Meine Kommentare zu den Aufgaben gibt es hier.

Im Aufgaben und Lösungsarchiv des Bundeswettbewerbs Mathematik wurde jetzt die Lösungen für die erste Runde des BWM 2010 in der vorläufigen endgültigen Fassung veröffentlicht (die Aufgaben stehen auch noch einmal dabei, es muss keiner im Archiv graben). Nachdem ich nach dem Erscheinen der Aufgaben einige Hinweise gegeben habe, gibt es hier jetzt meine Kommentare und zum Teil erklärende Hinweise zu den Lösungen:

Aufgabe 1:

Dazu gibt es eigentlich nicht viel zu sagen. Die Lösung beginnt nicht zu Unrecht mit „Es ist offensichtlich […]“ …

Die Variante in Summenschreibweise ist sicherlich weniger anschaulich aber formal klarer (sie argumentiert eben nicht damit, dass es offensichtlich ist sondern zeigt es tatsächlich). Die Umformung ist dabei, vor allem beim abschließenden Ausklammern, eher knapp gehalten. Das könnte auch ein Hinweis darauf sein, dass auch Wettbewerbsteilnehmer durchaus darauf vertrauen dürfen, dass sie nicht jeden Minischritt zu dokumentieren brauchen – zumindest so lange sie sich im Bereich der üblichen Lösungsverfahren bewegen.

Aufgabe 2:

Gerechterweise kann dieses Mal Bernd den Sieg erzwingen (in der zweiten Runde 2009 konnte Anja gewinnen, wenn sie wollte). Die Lösungen der Aufgabe ist wesentlich schöner als das Spielen des Spiels (darüber hatte ich mich nach der Veröffentlichung der Aufgaben amüsiert). Die beiden Beweise sind sich etwas ähnlich, zeigen aber tatsächlich zwei verschiedene Strategien zum Gewinn auf.

Nach dem zweiten Beweis wird noch kurz eine Variante der Aufgabe diskutiert (gerade Anzahl an Stäben). In diesem Fall wäre die Lösung offensichtlich wesentlich einfacher gewesen.

Aufgabe 3:

Auch für die Geometrieaufgabe gibt es natürlich mehrere Lösungsvorschläge (im Prinzip zwei mit jeweils zwei Varianten). Zum Verstehen der Beweise ist es in jedem Fall hilfreich, sich die entsprechenden Skizzen so zurechtzulegen, dass man beim Lesen die Argumentation auch in der Skizze nachvollziehen kann. (Gilt meiner Meinung nach für fast alle geometrischen Beweise, zumindest was Aufgaben für Schüler betrifft).

Allerdings sind die Skizzen – wie letztes Jahr auch – im Wesentlichen schwarzweiß (das heißt bis auf die Umrandung der zweiten Skizze und den Punkt E in beiden Skizzen). Ich denke nach wie vor, dass sich hier durch farbliche Unterscheidung (z.B. klarer Kennzeichnung der Ursprungsfigur etc.) auf einfachem Wege mehr Übersichtlichkeit erreichen ließe.

Aufgabe 4:

Mal abgesehen von einem Zahlendreher (ich denke statt d(n)=2001 müsste es d(n)=2010 heißen, dann stimmt auch der Rest der Rechnung) in der ja noch als vorläufig gekennzeichneten Lösung ist der erste Ansatz ein schönes Beispiel für eine etwas anspruchsvollere vollständige Induktion.

Die zweite Variante für die Lösung dieser Aufgabe ist erstaunlich kompakt (gerade auch im Vergleich zur vorherigen Lösungsvariante) und damit sehr übersichtlich nachvollziehbar. Ich finde, dass dieser Beweis der schönste aus den ersten Runden der letzten Jahre des Bundeswettbewerbs ist. Im Vergleich dazu wirkt die erste Variante dann doch ausgesprochen umständlich …

Ich wünsche allen viel Spaß beim Verstehen der Lösungen und allen die noch dabei sind viel Erfolg in den nächsten Runden.

Mehr Fraktale

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Nachdem ich nun in meiner Serie zur Mandelbrotmenge bzw. Apfelmännchen einige Erklärungen und Java-Programme veröffentlicht habe, will ich nun auch noch auf verschiedene andere Angebote zur Mandelbrotmenge und auch anderen Fraktalen hinweisen. Hier also einige Links zu Apfelmännchen und Verwandtschaft.

Sehenswert sind auf jeden Fall die Versuche von Skytopia eine Art dreidimensionales Apfelmännchen zu erzeugen. Der Autor beschreibt hier mit vielen Links und eindrucksvollen Bildern die Suche nach diesem Objekt. Das bisher beste Ergebnis ist sicherlich die Mandelbulb – selbst SPON hat schon über die „Mandelknolle“ geschrieben.

Ein Blogger der sich praktisch ganz der Schönheit verschiedenster Fraktale widmet ist „Fraktale Welten“. Der Blogger versteht es auch, seine Fraktale ansprechend zu präsentieren, sodass sich Unmengen wunderschöner Bilder im Blog finden. Hier ein paar Beispiele. Ganz nebenbei gesagt: Was die Rechte an seinen Bildern angeht, scheint er ausgesprochen fair zu sein, ich spiele noch mit dem Gedanken, neben diesen Absatz ein Bild als Appetithäppchen aufzunehmen. Aber vorbeischauen lohnt sich in jedem Fall.

Natürlich gibt es außer mir auch noch andere, die Java-Progrämmchen zu Fraktalen online stellen, nur ist dort die Auswahl an unterschiedlichen Fraktalen deutlich größer (… aber die Zoomfunktion finde ich nicht so schön ;-) ).

Wenig überraschend gibt es auch in der Wikipedia so Allerlei: Begriffliches wie auch Mathematisches zu Fraktalen ganz allgemein und mit diversen Beispielen sowie enge Verwandte der Mandelbrotmenge. Und, auch wenn Fraktale nur eine von vielen Verwendungsmöglichkeiten von komplexen Zahlen sind, will ich hier doch noch einmal ausdrücklich auf den entsprechenden Artikel hinweisen.

Achja, weil man mittlerweile auch mit Lebensmitteln spielen darf noch das hier.

Wahrnehmung von Licht: Lumen vs. Watt

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Wenn man Licht quantitativ bestimmen will, könnte man natürlich im Prinzip einfach die Lichtleistung in Watt angeben. Allerdings nimmt das Auge Licht der verschiedenen Wellenlängen sehr unterschiedlich intensiv wahr. So braucht man bei blauem Licht mehr als zehn Mal mehr Leistung als bei grünem, um das gleiche Helligkeitsempfinden zu erzeugen.

Dieser Zusammenhang wird in der Hellempfindlichkeitskurve dargestellt (sie unterscheidet zwischen Tag- und Nachtsehen). Hier kann abgelesen werden, wie hell Licht der gleichen Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge wahrgenommen wird, wobei der maximale Wert (bei Tagsehen 555nm grün) gleich Eins gesetzt wird. Wenn man die Leistungen der einzelnen Wellenlängen einer Lichtquelle mit den entsprechenden Werten dieser Kurve gewichtet und aufsummiert, erhält man den sogenannten Lichtstrom. Er ist damit die, an die menschliche Wahrnehmung angepasste, Entsprechung der Strahlungsleistung und wird natürlich nicht mehr in Watt sondern in der SI-Einheit Lumen (kurz lm) angegeben. Mit monochromatischem Licht von 555nm erhält man die theoretisch maximal mögliche Lichtausbeute von 683 Lumen pro Watt.

Interessant ist dieser Zusammenhang zum Beispiel bei Laserpointern: die Strahlungsleistung ist aus Sicherheitsgründen limitiert (je nach Klasse wenige Milliwatt). Der Lichtstrom ist damit direkt mit der Hellempfindlichkeitskurve verknüpft. Daraus folgt: Grüne Laser wirken deutlich heller als rote der gleichen Leistungsklasse.

Apfelmännchen im Browser

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Edit: Leider funktioniert das hier beschriebene Applet derzeit nicht, deshalb habe ich den Link dazu entfernt.

Darstellung der Mandelbrotmenge

Mandelbrotmenge

Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)

Weiterlesen →

BWM Endspurt: Die erste Runde endet bald

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Zur Erinnerung: Am 1. März (Datum des Poststempels) ist Einsendeschluss der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010. Es wird also langsam Zeit, die gefundenen Lösungen was Formulierung und Layout betrifft in die endgültige Form zu bringen (anders als bei manchem Lehrer sind ein Drucker, der sich an der Tinte verschluckt hat oder Exkremente des Kanarienvogels auf der Tastatur hier vermutlich keine wirksame Entschuldigung für Verspätungen).

Vor der Abgabe lohnt es sich auch auf jeden Fall, noch einmal die komplette Rückseite des Aufgabenblatts [nicht mehr auf der Wettbewerbsseite verfügbar] durchzulesen. Dort gibt es nämlich noch diverse Hinweise zu Papierformaten, Seitenrändern und Formularen.

Ich wünsche allen Teilnehmern viel Erfolg im Wettbewerb!

PS: Die folgenden Runden werde ich nicht mehr kommentieren. Den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 vielleicht definitiv wieder (falls Kap’s! Log dann noch lebt).

Farbmischung und Schuhsohle

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Licht, das wir im Alltag sehen, setzt sich meistens aus einer Vielzahl unterschiedlicher Wellenlängen zusammen. Im Wellenlängenbereich den unser Auge wahrnehmen kann (ca. 380 nm bis 760 nm) entspricht jede Wellenlänge einer Farbe. Licht, das aus nur einer Wellenlänge besteht (kommt praktisch fast nur bei Gasentladungslampen und Lasern vor) hat dabei sehr kräftige Farben (Spektralfarben) und wird „monochromatisches Licht“ genannt.

Licht jeder anderen Farbe ist aus verschiedenen Wellenlängen zusammengesetzt. Für die Mischung jeder dieser Farben aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen (additive Farbmischung) gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten. Um darzustellen wie eine Farbe zustande kommen kann gibt es eine sogenannte Normfarbtafel.

Wie so eine Farbtafel aussieht sieht man beispielsweise in der Wikipedia. Da die Form ein bisschen an einen Schuh erinnert, wird sie manchmal auch als „Schuhsohle“ bezeichnet.

Auf der Farbtafel sind die monochromatischen Farben als Kurve eingezeichnet, wobei die beiden Enden die Grenzen des sichtbaren Wellenlängenbereichs darstellen. Alle anderen Farben liegen im Inneren dieser Kurve. Wenn man nun zwei monochromatische Lichtstrahlen (entsprechen unterschiedlichen Punkten auf der Kurve) im Verhältnis eins zu eins mischt, dann erhält man genau die Farbe, die auf der Farbtafel in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt. Wenn mehr Licht einer Farbe verwendet wurde, liegt der Punkt auf der Farbtafel entsprechend näher an der entsprechenden Farbe. Natürlich können auf diese Weise auch mehr als zwei Lichtwellenlängen oder Farben gemischt werden.

Eine genauere Beschreibung gibt es in der Wikipedia unter den Stichworten Farbmetrik und Normvalenzsystem.

Mehr zur Beschreibung von Licht folgt demnächst hier.

Die Erleuchtung – Licht messen und beschreiben

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Licht spielt nicht nur im naturwissenschaftlichen Unterricht sondern auch im Alltag für uns eine wichtige Rolle (die meisten werden diesen Text mithilfe von Licht aufnehmen). Nachdem in der Schule selten wirklich übersichtlich dargestellt wird, was Helligkeit, Lichtstärke, Lichtstrom und diverse weitere Größen eigentlich sind und je nach Fach und Lehrer diese Größen auch nicht immer ganz korrekt verwendet werden, will ich mich in der nächsten Zeit unter anderem mit der Messung und Beschreibung von Licht beschäftigen.

Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt: