Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2012

Ich habe gerade gesehen, dass die offiziellen Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2012 veröffentlicht wurden. Zu finden sind sie über die Archivseite des Wettbewerbs (hier geht es direkt zur PDF-Datei mit den Lösungen des BWM 2012). Außer den Lösungen der 1. Runde gibt es auf der Seite „Aufgaben und Lösungen“ unter anderem auch die Aufgaben der 2. Runde. Die detaillierte Beschreibung der veröffentlichten Lösungsvorschläge spare ich mir (und meinen Lesern) dieses mal.

Wer in Zukunft gelegentlich an startende Bundeswettbewerbe erinnert werden will, kann übrigens die Facebook-Seite von Bildung & Begabung „liken“ (RSS-Feed habe ich leider noch keinen gefunden). Meldungen wie diese hier über veröffentlichte Lösungen gibt es dort allerdings meines Wissens bisher nicht. Wer also zusätzliche Infos möchte kann sich natürlich auch die Facebook-Seite, den RSS-Feed und den Twitter-Account von kapslog.de ansehen und je nach Laune liken, abonnieren oder folgen. So wie ich mich kenne, werde ich auch in Zukunft wieder Kommentare zum Beispiel über den Bundeswettbewerb Mathematik 2013 abgeben.

Die bisherige Domain des Bundeswettbewerbs Mathematik leitet übrigens (ungefähr seit Anfang des Jahres) auf eine gemeinsame Seite des BWM, der Mathe-Olympiaden und von „Jugend trainiert Mathematik“ um. Diese Seite sieht nicht nur moderner aus, als die bisherige, sondern ist auch inhaltlich etwas anders gegliedert und informiert beispielsweise jetzt schon (es ist Juli 2012) über den Bundeswettbewerb Mathematik 2013.

Edit Januar 2014: Die Links ändern sich noch gelegentlich (ohne Weiterleitung von der alten Adresse). Deshalb funktionieren hier evtl. nicht immer alle Links oder sie verschwinden ganz.

Mathematische Symbole mit Unicode darstellen

Dieser Beitrag gehört zur Serie „Hilfsmittel für Mathe, Physik & Co“.

Nicht immer, wenn man Formelzeichen verwenden will, kann man die umfangreichen Möglichkeiten von Programmen wie LaTeX oder LyX verwenden. An vielen Stellen ist die Eingabe von Formeln eigentlich nicht vorgesehen, obwohl es nützlich wäre.

Mittlerweile verwenden aber fast alle Websites (zum Beispiel auch Facebook, Google und Twitter) und viele Computerprogramme den Zeichensatz Unicode (meistens kodiert als UTF-8). Dieser enthält unter anderem eine ganze Menge an mathematischen Symbolen und Sonderzeichen. Da die Symbole manchmal etwas schwer zu finden sind, habe ich unten eine Liste mit oft benötigten Zeichen zusammengestellt. Man sollte allerdings wissen, dass nicht jede Schriftart alle Sonderzeichen enthält. Das heißt, je exotischer ein Zeichen ist, desto wahrscheinlich ist auch, dass es in manchen Schriftarten fehlt und damit nicht überall korrekt dargestellt wird. Gerade Schriftarten auf Smartphones fehlen nach meiner Erfahrung oft relativ viele der folgenden Zeichen.

Wer ein Sonderzeichen verwenden möchte, kopiert es am besten aus dieser Seite in das Formular oder Dokument, in dem das Zeichen gebraucht wird. Je nach System und Software gibt es oft auch Tastenkombinationen für die Sonderzeichen, diese sind aber so unterschiedlich, dass ich die Tastenkombinationen hier nicht alle auflisten will.

Vorab: Sonderzeichen für Deutsch

Zuerst noch ein paar Sonderzeichen, die immer hilfreich sind, wenn man (vor allem deutsche) Texte scheibt:

  • „ “ – deutsche Anführungszeichen. Viele Programme verwenden standardmäßig die englische Schreibweise “ ”. Für Zitate in Zitaten verwendet man idealerweise die halben Anführungszeichen ‚ ‘ (im englischen dann ‘ ’). Für Frankophile gibt es natürlich auch noch die französische Variante « ».
  • – – der Gedankenstrich. Er ist normalerweise länger als das einfache Minuszeichen (zum Vergleich: – vs. –).
  • … – Auslassungspunkte. Dafür gibt es ein extra Sonderzeichen. Bei Apple-Geräten ist es oft schon über die Tastatur zu erreichen.
  • ¿ ® © ™ – Diese Zeichen sind in Deutschland nicht ganz so verbreitet, aber vielleicht kann sie der/die eine oder andere mal brauchen.

Für alle die noch mehr über deutsche Typografie wissen wollen: Eine bekannte und empfehlenswerte Zusammenfassung ist die typokurz.pdf.

Mengen

  • ∈ ∉ ∊ – Das Symbol für „Element von“ ist sowohl negiert als auch in einer kleinen Variante Element des Unicode-Zeichensatzes
  • ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ⊊ ⊋ – Die Zeichen für (echte) Teilmengen bilden eine Teilmenge des Unicode-Zeichensatzes (und zwar nach beiden gängigen Konventionen).
  • ∅ – Die leere Menge
  • ∩ ∪ ∁ – Schnittmengen, Vereinigungen und Komplementärmengen lassen sich mit Unicode-Symbolen auch darstellen
  • ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ – Gängige Bezeichnungen für die Mengen der natürlichen/ganzen/rationalen/reellen/komplexen Zahlen

Logik, Quantoren und Beweise

  • ∧ ∨ ¬ – Die elementaren Operatoren der boolschen Algebra „und“, „oder“ und „nicht“
  • ∀ ∃ ∄ – Allquantor und Existenzquantor (mit negierter Variante)
  • ∎ □ – q.e.d.-Symbol (Ende eines mathematischen Beweises)

Mathematische Symbole mit Unicode darstellen weiterlesen

LyX – LaTeX-Dokumente mit Formeln einfach und intuitiv

Dieser Beitrag gehört zur Serie „Hilfsmittel für Mathe, Physik & Co“.

Neulich habe ich schon über das kostenlose Textsatzsystem LaTeX geschrieben, das auch für Texte mit vielen Formeln sehr gut geeignet ist. Allerdings ist LaTeX am Anfang nicht ganz einfach zu verstehen und erfordert deshalb einige Einarbeitungszeit. Den praktisch identischen Funktionsumfang bei einfacherer Bedienung bietet aber auch LyX

LyX-Benutzeroberfläche

Es besitzt eine grafische Oberfläche und zeigt auch Formeln direkt so an, wie sie hinterher im Dokument zu sehen sind. Zur Ausgabe der Dokumente verwendet es dann LaTeX. Es gibt zwar (eher selten gebrauchte) Funktionen in LaTeX, die LyX nicht direkt in der grafischen Oberfläche unterstützt, aber dafür lässt sich an jeder beliebigen Stelle im Dokument eigener LaTeX-Code verwenden. Zusätzlich zur grafischen Oberfläche bietet das Programm noch einige weitere Vorteile gegenüber der Verwendung von LaTeX mit einem einfachen Text-Editor.

LyX – LaTeX-Dokumente mit Formeln einfach und intuitiv weiterlesen

Im Dezember: Bundeswettbewerb Mathematik 2012 und Mathekalender

Für alle, die sich ein bisschen für Mathematik interessieren, stehen im Dezember wieder zwei Angebote bereit, bei denen man sich mit anderen messen oder einfach ein bisschen für sich knobeln kann: Der Bundeswettbewerb Mathematik 2012 und der Mathekalender.

Mathekalender

Dieser Wettbewerb ist eine Art Adventskalender mit Mathematik-Aufgaben und richtet sich an Schüler ab der 11. Klasse und Erwachsene. Es wird auf der Website allerdings noch auf andere mathematische Adventskalender hingewiesen, die, in vier Abschnitte unterteilt, den Altersbereich von der ersten bis zur neunten Klasse abdecken (der für die erste und zweite Klassenstufe wird zwar nicht erwähnt, ist aber hinter dem Link für die dritte und vierte Klasse ebenfalls zu finden).

Im Mathekalender gibt es wie gehabt jeden Abend eine Aufgabe, bei der man dann eine Lösung auswählen muss. Die Schwierigkeit der Aufgaben und der zur Lösung nötige Aufwand schwankt erfahrungsgemäß etwas. Das heißt, es dürfte fast jeder die eine oder andere Aufgabe hinbekommen, während es schwierig werden dürfte, alle Aufgaben fehlerfrei zu lösen. Falls es Verständnisfragen bei den Aufgaben gibt – und das kommt nach meinen Erfahrungen durchaus gelegentlich vor – kann man diese im zugehörigen Forum stellen. Dort findet man nach kurzer Zeit dann oft entsprechende Klarstellungen der Organisatoren. Nach dem 24. Dezember werden dann die Lösungen bekannt gegeben. Zu gewinnen gibt es hier verschiedenste Preise in diversen Kategorien, mal für einzelne Aufgaben, mal für das Gesamtergebnis … Details gibt es auf der Website.

Dieser mathematische Adventskalender und alle nötigen Information finden sich hier.

Bundeswettbewerb Mathematik 2012

Der Bundeswettbewerb Mathematik ist vielleicht manchen meiner Leser schon bekannt. Gedacht ist er im Wesentlichen für Oberstufenschüler. Sobald die Aufgaben zugänglich sind, kann sich aber natürlich jeder daran versuchen und seine Ergebnisse später selbst mit den Lösungen vergleichen, die nach Abschluss des ersten Runde veröffentlicht werden. Im Gegensatz zum letzten Jahr gibt es zum diesjährigen Bundeswettbewerb Mathematik schon seit einiger Zeit Vorab-Informationen auf der Website des Wettbewerbs, deshalb gebe ich dieses Jahr im Gegensatz zum letzten Jahr keine ausführliche Prognose über den Ablauf des Wettbewerbs ab. Im Internet sind die Aufgaben im Moment noch nicht verfügbar, das wird sich aber wohl in den nächsten Tagen bis Wochen noch ändern jetzt auch schon verfügbar. Wer sich nach der dritten Runde tatsächlich zu den Bundessiegern zählen darf, wird in der Regel als Stipendiat in die Studienstiftung des deutschen Volkes aufgenommen. Die Tatsache, bei einem bekannten Wettbewerb mit deutlich über tausend Teilnehmern unter den Gewinnern zu sein, dürfte aber auch schon etwas wert sein.

Ich wünsche viel Spaß beim Knobeln und eine schöne Adventszeit!

Programmierwettbewerbe bei Infinite Search Space

Update August 2013/April 2014: So wie es aussieht, gibt es die Seite nicht mehr.

Vor einer Weile habe ich über die „Al Zimmermann’s Programming Contests“ geschrieben, bei denen jeder Interessierte möglichst gute Lösungen zu einer bestimmten Aufgabe eingeben konnte – es war im Prinzip völlig egal wie man auf die Lösungen kam, in der Praxis war es allerdings ohne Computer unmöglich, brauchbare Ergebnisse zu erzielen. Nachdem die Website dieses Wettbewerbs seit geraumer Zeit nur noch Fehlermeldungen liefert, bin ich neulich in einem Blog auf eine neue Website gestoßen, die einen Wettbewerb nach dem gleichen Muster durchführt: Infinite Search Space.

Prinzip

Ein Wettbewerb besteht aus einer Reihe von sehr ähnlichen Problemen (die sich zum Beispiel nur durch einen gegebenen ganzzahligen Wert unterscheiden). Für jede Teilaufgabe kann man eine Lösung eingeben (und auch jederzeit eine bessere nachreichen). Der Wettbewerb ist so konstruiert, dass sich die Lösung relativ einfach überprüfen und bewerten lässt. Für jede Teilaufgabe bekommt derjenige, der die beste Lösung gefunden hat, einen Punkt und diejenigen, die eine weniger gute Lösung haben, entsprechend Teilpunkte. Man kann jederzeit seinen eigenen Punktestand für die Teilaufgaben einsehen, außerdem wird noch die Gesamtpunktzahl ermittelt und danach ein Ranking aller Teilnehmer erstellt, das man ebenfalls einsehen kann.

Im Gegensatz zu den „Al Zimmermann’s Programming Contests“ gibt es bei diesem Wettbewerb (bisher) allerdings nicht viel zu gewinnen.

Der aktuelle Wettbewerb „Orchard Planting“

Zurzeit befasst sich der Wettbewerb mit einer Variante des „Orchard-planting problem“ (beschrieben unter anderem in der englischen Wikipedia) mit vier Bäumen pro Reihe: Es geht hierbei darum auf einer Ebene (Obstgarten, engl. „Orchard“) n Punkte (Bäume) so unterzubringen, dass es möglichst viele Geraden gibt, auf denen sich genau vier Bäume befinden, aber auf keiner Gerade mehr als vier Bäume liegen.

Auf der Website muss dabei für jedes der 50 Teilprobleme (das heißt für jede Anzahl Bäume n von 11 bis 60) eine Liste mit den (ganzzahligen) Koordinaten der Bäume im Garten abgegeben werden, und die Website ermittelt selbst, ob die Lösung gültig ist und wie viele Geraden mit vier Bäumen es darin gibt. Nach der Anzahl der Geraden mit vier Bäumen bemisst sich dann auch die Punktzahl für das Teilproblem: Wenn für das Teilproblem mit 11 Bäumen die maximal abgegebene Anzahl an Geraden mit vier Bäumen bei sechs liegt, bekommt man beispielsweise einen halben Punkt, wenn man wenn man eine Lösung mit drei Geraden auf denen vier Bäumen liegen eingegeben hat. Wenn man für alle Teilaufgaben die beste Lösung hat, kommt man demzufolge auf die Maximalpunktzahl von 50 Punkten (hat im Moment niemand).

Los geht’s!

Wer also Lust hat, in einer Programmiersprache seiner Wahl ein bisschen mit Teilnehmern aus aller Welt um die Wette zu programmieren oder schon seit längerem auf der Suche nach einer Alternative zum „Al Zimmermann’s Programming Contests“ ist, kann sich die offizielle Aufgabenstellung zum „Orchard Planting“-Wettbewerb (Update: Link entfernt, da Aufgabe nicht mehr online) anschauen und loslegen.

Formeln schön und effizient: Aufsätze und Referate mit LaTeX

Dieser Beitrag ist der erste aus der lange versprochenen Serie „Hilfsmittel für Mathe, Physik & Co“. Edit: Dort gibt es auch einen Beitrag über eine grafische Benutzeroberfläche für LaTeX.

Wer schon einmal viele Formeln in einem Textdokument verwenden wollte (oder vielleicht auch musste) hat wahrscheinlich die Erfahrung gemacht, dass die Formeleditoren von normalen Office-Programmen nicht besonders praktisch zu bedienen sind und das Ergebnis oft ausgesprochen mittelmäßig aussieht.

Eine gute Alternative zu diesen Office-Programmen ist LaTeX (Einer Erweiterung von TeX). In vielen wissenschaftlichen Bereichen, inbesondere in der Mathematik, ist LaTeX das Standardsystem zum Textsatz, sei es für Präsentationen, Hausaufgaben oder wissenschaftliche Publikationen. Eine Stärke dieses Systems ist die Erweiterbarkeit. So gibt es beispielsweise Module für Notensatz, chemische Formeln, pdf-Formulare, verschiedenste Stuktogramme, optimierte Darstellung von Quellcode und vieles mehr. Außerdem ist LaTeX dafür bekannt, dass es ohne viele Korrekturen des Nutzers Dokumente erstellt, die gut lesbar sind und alle wichtigen Regeln der Typografie einhalten.

Allerdings funktioniert LaTeX nicht nach dem WYSIWYG-Prinzip, das heißt der Nutzer schreibt zunächst von Hand LaTeX-Quellcode in eine Textdatei, die dann von LaTeX umgewandelt wird (oft in .pdf-Dateien, es sind aber auch viele andere Ausgabeformate wie zum Beispiel HTML-Seiten möglich). Das Lernen der LaTeX-Syntax kostet erst einmal etwas Zeit, wobei es im Internet viele gute Tutorials (oft auch auf den Seiten von Universitäten) gibt. Eine gute Einführung und Vorlagen für eigene Dokumente (Briefe, Diplomarbeiten …) gibt es unter anderem hier beim Mathematik-Online-Projekt der Universitäten Stuttgart und Ulm. Wenn man einmal eine Funktion nicht kennt, dann findet man über Google in der Regel sehr schnell Hilfe zu entsprechenden Funktionen. Eine gute Übersicht über wichtige Befehle für den Formelsatz gibt es auch in der Wikipedia, die selbst für die Darstellung größerer Formeln LaTeX verwendet. Und wenn man die Syntax einmal beherrscht gehen gerade Formeln sehr viel schneller, als wenn man sie in einem Formeleditor mühsam zusammen klicken muss.

Einen Überblick über verschiedene Verwendungsmöglichkeiten von LaTeX gibt es auch in der englischen Präsentation LaTeX: More Than Just Academic Papers and Theses.

LaTeX ist kostenlose Open-Source-Software und damit auch kostenlos für alle wichtigen Desktop-Betriebssysteme (und nicht nur für die) verfügbar. Für Windows empfiehlt sich beispielsweise MiKTeX, für Linux empfehle ich die Suche im jeweiligen Paketmanager oder bei der Suchmaschine des Vertrauens. Wer einfach nur ein bisschen mit den Mathe-Funktionen von LaTeX spielen möchte, findet im Internet auch diverse Seiten, auf denen man selbst LaTeX-Code eingeben kann, der dann als gerendertes Bild wieder ausgegeben wird – zum Beispiel hier.

Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2011 verfügbar

Ich habe gerade gesehen, dass die Lösungen zur 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2011 jetzt online sind. Bevor ich jetzt wieder absatzweise belanglose Kommentare dazu abgebe aber erst einmal der Link (ist noch eine vorläufige Fassung). Ich glaube zu wissen, dass ein gewisser Teil meiner Leser da schon drauf gewartet hat.

So, dann kann ’s losgehen:

Aufgabe 1

Ja, gut. Die Lösung halt. Beziehungsweise mehrere Varianten, sonst sähe die Seite auch sehr leer aus. Böse Mathematiker hätten einfach „trivial“ hingeschrieben.

Aufgabe 2

Die Lösung der zweiten Aufgabe ist (oder wäre) wohl schon mit etwas mehr Arbeit verbunden gewesen. Wer schon einmal ein bisschen Kombinatorik gemacht hat, sollte sie aber hinbekommen haben. Nett ist, dass in der Lösung noch darauf hingewiesen wird, dass interessantes Wissen zu so genannten „Zeckendorf-Sequenzen“ googlebar ist (vielleicht ist mit „Stichwort“ auch „Fibonaccifolgen“ gemeint, aber das klingt irgendwie bekannter und damit weniger aufregend). Interessant ist, dass unter dem (spannenderen 😉 ) Stichwort im Moment bei Google Einträge von genau vier (paarweise verschiedenen) Domains auftreten (vorausgesetzt man setzt es in Anführungszeichen). Und einer dieser Treffer ist – Überraschung – das Lösungsblatt des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik. Ich glaube allerdings, dass bald ein neuer Treffer dazu kommt, woran ich dann auch selbst nicht ganz unschuldig bin. Nur hat der Autor des neuen Treffers dann garantiert überhaupt keine Ahnung von „Zeckendorf-Sequenzen“.

Aufgabe 3

Die erste Lösungsmöglichkeit der Geometrie-Aufgabe zeigt, dass man dieses geometrische Problem relativ einfach in ein lineares Gleichungssystem umwandeln konnte, und der Rest dann nur noch ein wenig Rechnerei war. Die „Variante 2“ könnte man wieder als Hinweis auf ein interessantes mathematisches Themengebiet lesen. Mich würde es jedenfalls wundern, wenn Determinanten von Matrizen in irgend einem deutschen Bundesland Schulstoff wären. Ein Fehler ist die Beschäftigung mit diesen Dingern aber sicher nicht, es dürfte kaum einen naturwissenschaftlich-technischen Studenten geben, der um Lineare Algebra längerfristig herum kommt ohne exmatrikuliert zu werden.

Aufgabe 4

Zur letzten Aufgabe fällt mir gerade auch nicht viel ein. „Auch“, weil die Lösungsmöglichkeiten in der Lösung nur zwei Seiten einnehmen (im Vergleich zu beispielsweise fünf Seiten für Aufgabe zwei).

So, das war ’s dann vermutlich wieder von mir was Beiträge zum Bundeswettbewerb Mathematik 2011 angeht. Der Bundeswettbewerb Mathematik 2012 wird bestimmt wieder Ende des Jahres starten, und wenn ich bis dahin noch blogge, werde ich wahrscheinlich auch wieder meinen Senf dazu geben. Ein paar Anregungen, mit was sich Schüler in der Zwischenzeit beschäftigen können, finden sich ja auch schon in den Lösungen dieses Wettbewerbs ;-). Viel Spaß …

Originelle Aprilscherze der letzten Jahre

So, mal wieder ein Blog-Post. Wenn ich den jetzt nicht schreibe muss ich wieder ein Jahr warten, also:

Wer heute im Internet unterwegs ist, sollte etwas vorsichtig sein, wenn er auf irgendwelche überraschenden Neuigkeiten stößt. Ok, das gilt eigentlich immer – nur heute sind auch auf seriösen Websites manche Infos absichtlich falsch. Ein paar originellere Aprilscherze, die das Internet in den letzten Jahren hervorgebracht hat, habe ich mal hier zusammengestellt:

Google hatte die Idee, die Internetverbindung künftig über die Abwasserkanäle herzustellen, sodass man das Netzwerkkabel einfach mit der Toilettenspülung verbindet. Die anschauliche Dokumentation ist immer noch online.

Der totale Datenschutz-GAU (eigentlich wollte ich das Wort GAU in diesen Tagen nur noch im ursprünglichen Kontext verwenden – war wohl nichts) wäre wohl Facebook Relationships in der hier vorgestellten Fassung gewesen – nur hätten manche das Facebook durchaus zugetraut.

Harmlos aber trotzdem ganz nett finde ich dieses Videos eines Professors:

Und zum Abschluss gibt es noch eine Übersicht eines amerikanischen Tech-Blogs über einige Aprilscherze des letzten Jahres.

Bleibt noch anzumerken dass manch ein Aprilscherz durchaus für besorgte Nachfragen beim ein oder anderen Support führen kann.