Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2012

Ich habe gerade gesehen, dass die offiziellen Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2012 veröffentlicht wurden. Zu finden sind sie über die Archivseite des Wettbewerbs (hier geht es direkt zur PDF-Datei mit den Lösungen des BWM 2012). Außer den Lösungen der 1. Runde gibt es auf der Seite „Aufgaben und Lösungen“ unter anderem auch die Aufgaben der 2. Runde. Die detaillierte Beschreibung der veröffentlichten Lösungsvorschläge spare ich mir (und meinen Lesern) dieses mal.

Wer in Zukunft gelegentlich an startende Bundeswettbewerbe erinnert werden will, kann übrigens die Facebook-Seite von Bildung & Begabung „liken“ (RSS-Feed habe ich leider noch keinen gefunden). Meldungen wie diese hier über veröffentlichte Lösungen gibt es dort allerdings meines Wissens bisher nicht. Wer also zusätzliche Infos möchte kann sich natürlich auch die Facebook-Seite, den RSS-Feed und den Twitter-Account von kapslog.de ansehen und je nach Laune liken, abonnieren oder folgen. So wie ich mich kenne, werde ich auch in Zukunft wieder Kommentare zum Beispiel über den Bundeswettbewerb Mathematik 2013 abgeben.

Die bisherige Domain des Bundeswettbewerbs Mathematik leitet übrigens (ungefähr seit Anfang des Jahres) auf eine gemeinsame Seite des BWM, der Mathe-Olympiaden und von „Jugend trainiert Mathematik“ um. Diese Seite sieht nicht nur moderner aus, als die bisherige, sondern ist auch inhaltlich etwas anders gegliedert und informiert beispielsweise jetzt schon (es ist Juli 2012) über den Bundeswettbewerb Mathematik 2013.

Edit Januar 2014: Die Links ändern sich noch gelegentlich (ohne Weiterleitung von der alten Adresse). Deshalb funktionieren hier evtl. nicht immer alle Links oder sie verschwinden ganz.

Mathematische Symbole mit Unicode darstellen

Dieser Beitrag gehört zur Serie „Hilfsmittel für Mathe, Physik & Co“.

Nicht immer, wenn man Formelzeichen verwenden will, kann man die umfangreichen Möglichkeiten von Programmen wie LaTeX oder LyX verwenden. An vielen Stellen ist die Eingabe von Formeln eigentlich nicht vorgesehen, obwohl es nützlich wäre.

Mittlerweile verwenden aber fast alle Websites (zum Beispiel auch Facebook, Google und Twitter) und viele Computerprogramme den Zeichensatz Unicode (meistens kodiert als UTF-8). Dieser enthält unter anderem eine ganze Menge an mathematischen Symbolen und Sonderzeichen. Da die Symbole manchmal etwas schwer zu finden sind, habe ich unten eine Liste mit oft benötigten Zeichen zusammengestellt. Man sollte allerdings wissen, dass nicht jede Schriftart alle Sonderzeichen enthält. Das heißt, je exotischer ein Zeichen ist, desto wahrscheinlich ist auch, dass es in manchen Schriftarten fehlt und damit nicht überall korrekt dargestellt wird. Gerade Schriftarten auf Smartphones fehlen nach meiner Erfahrung oft relativ viele der folgenden Zeichen.

Wer ein Sonderzeichen verwenden möchte, kopiert es am besten aus dieser Seite in das Formular oder Dokument, in dem das Zeichen gebraucht wird. Je nach System und Software gibt es oft auch Tastenkombinationen für die Sonderzeichen, diese sind aber so unterschiedlich, dass ich die Tastenkombinationen hier nicht alle auflisten will.

Vorab: Sonderzeichen für Deutsch

Zuerst noch ein paar Sonderzeichen, die immer hilfreich sind, wenn man (vor allem deutsche) Texte scheibt:

  • „ “ – deutsche Anführungszeichen. Viele Programme verwenden standardmäßig die englische Schreibweise “ ”. Für Zitate in Zitaten verwendet man idealerweise die halben Anführungszeichen ‚ ‘ (im englischen dann ‘ ’). Für Frankophile gibt es natürlich auch noch die französische Variante « ».
  • – – der Gedankenstrich. Er ist normalerweise länger als das einfache Minuszeichen (zum Vergleich: – vs. –).
  • … – Auslassungspunkte. Dafür gibt es ein extra Sonderzeichen. Bei Apple-Geräten ist es oft schon über die Tastatur zu erreichen.
  • ¿ ® © ™ – Diese Zeichen sind in Deutschland nicht ganz so verbreitet, aber vielleicht kann sie der/die eine oder andere mal brauchen.

Für alle die noch mehr über deutsche Typografie wissen wollen: Eine bekannte und empfehlenswerte Zusammenfassung ist die typokurz.pdf.

Mengen

  • ∈ ∉ ∊ – Das Symbol für „Element von“ ist sowohl negiert als auch in einer kleinen Variante Element des Unicode-Zeichensatzes
  • ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ ⊊ ⊋ – Die Zeichen für (echte) Teilmengen bilden eine Teilmenge des Unicode-Zeichensatzes (und zwar nach beiden gängigen Konventionen).
  • ∅ – Die leere Menge
  • ∩ ∪ ∁ – Schnittmengen, Vereinigungen und Komplementärmengen lassen sich mit Unicode-Symbolen auch darstellen
  • ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ – Gängige Bezeichnungen für die Mengen der natürlichen/ganzen/rationalen/reellen/komplexen Zahlen

Logik, Quantoren und Beweise

  • ∧ ∨ ¬ – Die elementaren Operatoren der boolschen Algebra „und“, „oder“ und „nicht“
  • ∀ ∃ ∄ – Allquantor und Existenzquantor (mit negierter Variante)
  • ∎ □ – q.e.d.-Symbol (Ende eines mathematischen Beweises)

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LyX – LaTeX-Dokumente mit Formeln einfach und intuitiv

Dieser Beitrag gehört zur Serie „Hilfsmittel für Mathe, Physik & Co“.

Neulich habe ich schon über das kostenlose Textsatzsystem LaTeX geschrieben, das auch für Texte mit vielen Formeln sehr gut geeignet ist. Allerdings ist LaTeX am Anfang nicht ganz einfach zu verstehen und erfordert deshalb einige Einarbeitungszeit. Den praktisch identischen Funktionsumfang bei einfacherer Bedienung bietet aber auch LyX

LyX-Benutzeroberfläche

Es besitzt eine grafische Oberfläche und zeigt auch Formeln direkt so an, wie sie hinterher im Dokument zu sehen sind. Zur Ausgabe der Dokumente verwendet es dann LaTeX. Es gibt zwar (eher selten gebrauchte) Funktionen in LaTeX, die LyX nicht direkt in der grafischen Oberfläche unterstützt, aber dafür lässt sich an jeder beliebigen Stelle im Dokument eigener LaTeX-Code verwenden. Zusätzlich zur grafischen Oberfläche bietet das Programm noch einige weitere Vorteile gegenüber der Verwendung von LaTeX mit einem einfachen Text-Editor.

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Im Dezember: Bundeswettbewerb Mathematik 2012 und Mathekalender

Für alle, die sich ein bisschen für Mathematik interessieren, stehen im Dezember wieder zwei Angebote bereit, bei denen man sich mit anderen messen oder einfach ein bisschen für sich knobeln kann: Der Bundeswettbewerb Mathematik 2012 und der Mathekalender.

Mathekalender

Dieser Wettbewerb ist eine Art Adventskalender mit Mathematik-Aufgaben und richtet sich an Schüler ab der 11. Klasse und Erwachsene. Es wird auf der Website allerdings noch auf andere mathematische Adventskalender hingewiesen, die, in vier Abschnitte unterteilt, den Altersbereich von der ersten bis zur neunten Klasse abdecken (der für die erste und zweite Klassenstufe wird zwar nicht erwähnt, ist aber hinter dem Link für die dritte und vierte Klasse ebenfalls zu finden).

Im Mathekalender gibt es wie gehabt jeden Abend eine Aufgabe, bei der man dann eine Lösung auswählen muss. Die Schwierigkeit der Aufgaben und der zur Lösung nötige Aufwand schwankt erfahrungsgemäß etwas. Das heißt, es dürfte fast jeder die eine oder andere Aufgabe hinbekommen, während es schwierig werden dürfte, alle Aufgaben fehlerfrei zu lösen. Falls es Verständnisfragen bei den Aufgaben gibt – und das kommt nach meinen Erfahrungen durchaus gelegentlich vor – kann man diese im zugehörigen Forum stellen. Dort findet man nach kurzer Zeit dann oft entsprechende Klarstellungen der Organisatoren. Nach dem 24. Dezember werden dann die Lösungen bekannt gegeben. Zu gewinnen gibt es hier verschiedenste Preise in diversen Kategorien, mal für einzelne Aufgaben, mal für das Gesamtergebnis … Details gibt es auf der Website.

Dieser mathematische Adventskalender und alle nötigen Information finden sich hier.

Bundeswettbewerb Mathematik 2012

Der Bundeswettbewerb Mathematik ist vielleicht manchen meiner Leser schon bekannt. Gedacht ist er im Wesentlichen für Oberstufenschüler. Sobald die Aufgaben zugänglich sind, kann sich aber natürlich jeder daran versuchen und seine Ergebnisse später selbst mit den Lösungen vergleichen, die nach Abschluss des ersten Runde veröffentlicht werden. Im Gegensatz zum letzten Jahr gibt es zum diesjährigen Bundeswettbewerb Mathematik schon seit einiger Zeit Vorab-Informationen auf der Website des Wettbewerbs, deshalb gebe ich dieses Jahr im Gegensatz zum letzten Jahr keine ausführliche Prognose über den Ablauf des Wettbewerbs ab. Im Internet sind die Aufgaben im Moment noch nicht verfügbar, das wird sich aber wohl in den nächsten Tagen bis Wochen noch ändern jetzt auch schon verfügbar. Wer sich nach der dritten Runde tatsächlich zu den Bundessiegern zählen darf, wird in der Regel als Stipendiat in die Studienstiftung des deutschen Volkes aufgenommen. Die Tatsache, bei einem bekannten Wettbewerb mit deutlich über tausend Teilnehmern unter den Gewinnern zu sein, dürfte aber auch schon etwas wert sein.

Ich wünsche viel Spaß beim Knobeln und eine schöne Adventszeit!

Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2011 verfügbar

Ich habe gerade gesehen, dass die Lösungen zur 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2011 jetzt online sind. Bevor ich jetzt wieder absatzweise belanglose Kommentare dazu abgebe aber erst einmal der Link (ist noch eine vorläufige Fassung). Ich glaube zu wissen, dass ein gewisser Teil meiner Leser da schon drauf gewartet hat.

So, dann kann ’s losgehen:

Aufgabe 1

Ja, gut. Die Lösung halt. Beziehungsweise mehrere Varianten, sonst sähe die Seite auch sehr leer aus. Böse Mathematiker hätten einfach „trivial“ hingeschrieben.

Aufgabe 2

Die Lösung der zweiten Aufgabe ist (oder wäre) wohl schon mit etwas mehr Arbeit verbunden gewesen. Wer schon einmal ein bisschen Kombinatorik gemacht hat, sollte sie aber hinbekommen haben. Nett ist, dass in der Lösung noch darauf hingewiesen wird, dass interessantes Wissen zu so genannten „Zeckendorf-Sequenzen“ googlebar ist (vielleicht ist mit „Stichwort“ auch „Fibonaccifolgen“ gemeint, aber das klingt irgendwie bekannter und damit weniger aufregend). Interessant ist, dass unter dem (spannenderen 😉 ) Stichwort im Moment bei Google Einträge von genau vier (paarweise verschiedenen) Domains auftreten (vorausgesetzt man setzt es in Anführungszeichen). Und einer dieser Treffer ist – Überraschung – das Lösungsblatt des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik. Ich glaube allerdings, dass bald ein neuer Treffer dazu kommt, woran ich dann auch selbst nicht ganz unschuldig bin. Nur hat der Autor des neuen Treffers dann garantiert überhaupt keine Ahnung von „Zeckendorf-Sequenzen“.

Aufgabe 3

Die erste Lösungsmöglichkeit der Geometrie-Aufgabe zeigt, dass man dieses geometrische Problem relativ einfach in ein lineares Gleichungssystem umwandeln konnte, und der Rest dann nur noch ein wenig Rechnerei war. Die „Variante 2“ könnte man wieder als Hinweis auf ein interessantes mathematisches Themengebiet lesen. Mich würde es jedenfalls wundern, wenn Determinanten von Matrizen in irgend einem deutschen Bundesland Schulstoff wären. Ein Fehler ist die Beschäftigung mit diesen Dingern aber sicher nicht, es dürfte kaum einen naturwissenschaftlich-technischen Studenten geben, der um Lineare Algebra längerfristig herum kommt ohne exmatrikuliert zu werden.

Aufgabe 4

Zur letzten Aufgabe fällt mir gerade auch nicht viel ein. „Auch“, weil die Lösungsmöglichkeiten in der Lösung nur zwei Seiten einnehmen (im Vergleich zu beispielsweise fünf Seiten für Aufgabe zwei).

So, das war ’s dann vermutlich wieder von mir was Beiträge zum Bundeswettbewerb Mathematik 2011 angeht. Der Bundeswettbewerb Mathematik 2012 wird bestimmt wieder Ende des Jahres starten, und wenn ich bis dahin noch blogge, werde ich wahrscheinlich auch wieder meinen Senf dazu geben. Ein paar Anregungen, mit was sich Schüler in der Zwischenzeit beschäftigen können, finden sich ja auch schon in den Lösungen dieses Wettbewerbs ;-). Viel Spaß …

Hilfsmittel für Mathematik, Physik & Co

Der Computer kann einen bei vielen (Haus-)Aufgaben gerade auch in den Fächern Mathematik und Physik auf unterschiedliche Weise unterstützen. Sei es die Kontrolle von Aufgaben, die von Hand gerechnet wurden, die Berechnung von Ableitungen und Integralen, die sich nur schwierig oder gar nicht mit dem Wissen aus der Schule berechnen lassen oder die saubere Darstellung von Formeln in Protokollen oder Ausarbeitungen. Es gibt für diese Aufgaben eine ganze Reihe kostenloser Programme, die für Schüler und alle Anderen, die ein wenig Motivation mitbringen, sich in etwas Neues einzuarbeiten, äußerst nützlich sein können. Mit einer Beitragsserie zu diesen Programmen will ich einige ausgewählte kurz vorstellen.

Ich werde die einzelnen Beiträge hier verlinken:

Bundeswettbewerb Mathematik 2011: Die Aufgaben sind da

Edit: Inzwischen gibt es auch die Lösungen zum BWM 11 und der BWM12 ist auch schon gestartet.

Mittlerweile sind die Aufgaben der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2011 (BWM) veröffentlicht (mittlerweile ist das Aufgabenblatt auch auf der Website des diesjährigen Bundeswettbewerbs).

Über den Ablauf und die Regeln des Bundeswettbewerbs im Zeitraum 2010/2011 habe ich vor kurzem schon etwas geschrieben (hier gibt es gegebenenfalls auch Aktuelles zum laufenden Wettbewerb). Für diejenigen, die sich schon mal mit einem früheren Bundeswettbewerb Mathematik beschäftigt haben: Es hat sich nicht viel geändert. Und auch stilistisch sind sich die Macher des Wettbewerbs 2011 treu geblieben (sowohl auf die Aufgaben selbst als auch auf das Design des Aufgabenblatts bezogen). Trotzdem werde ich hier wieder meine Kommentare zu den Aufgaben der 1. Runde abgeben.

Vorab aber noch ein Hinweis (meine Erfahrungen zeigen leider, dass er nötig ist): Die Lösungen zu der Mehrzahl der Aufgaben des diesjährigen Wettbewerbs kenne auch ich selbst nicht! Bitten um zusätzliche Informationen werden von mir ohne genauere Betrachtung gelöscht, egal wie freundlich oder unfreundlich sie ausfallen.

Jetzt also zu meinen Kommentaren:

Aufgabe 1

Naja, ich zitiere einfach mal meinen Kommentar zur ersten Aufgabe des letztjährigen Bundeswettbewerbs, damit ich nicht versehentlich schon etwas über den Lösungsweg verrate:

Die Aufgabe 1 ist, zumindest was die Aufgabenstellung angeht, einfach und von vielen Schülern wie die Aufgabe 1 aus dem letzten Jahr sicherlich in einer durchschnittlich interessanten Unterrichtsstunde ohne schulische Einbußen auf dem Heftrand lösbar. Man sollte sie eben nur nicht mit der ersten Aufgabe aus dem letzten Jahr verwechseln …

Wer diesen Satz versteht, sollte auch mit der ersten Aufgabe klar kommen!

Was mir gerade noch auffällt: Letztes Jahr kam die Jahreszahl des Wettbewerbs erst in der vierten Aufgabe dran, jetzt geht es gleich mit 2011 Murmeln los. Ich glaube diese Info ist auch für jeden wertlos …

Aufgabe 2

Diese Aufgabe geht in Richtung Kombinatorik und ist etwas anspruchsvoller als die erste Aufgabe. Wer nicht auf einen geeigneten Taschenrechner zum Überschlagen irgendwelcher Zahlenwerte zurückgreifen kann, dem kann ich WolframAlpha für Rechnungen, aber auch zur Kontrolle irgendwelcher Umformungen oder zum Plotten von Funktionen mit Ableitungen etc. sehr empfehlen. Meine Tipps dazu gibt es hier. Aber nicht vergessen: Der Lösungsweg muss gemäß den Teilnahmebedingungen ohne technische Hilfsmittel nachvollziehbar sein.

Nichtmathematiker werden sich bei dieser Aufgabe wahrscheinlich fragen, was mit den Kindern gemacht wurde, damit sie sich Gedanken darüber machen, dass keiner mehr als einen Platz weiter sitzt. Aber vielleicht sollten wir ja wirklich Kinder früh für mathematische Probleme sensibilisieren.

Aufgabe 3

Die obligatorische Geometrieaufgabe – auch wenn sie dieses Mal ganz ohne Zeichnung auskommt. Die richtige Antwort auf die gestellte Frage lässt sich, wie schon bei Aufgabe 1, wieder mit mindestens 50%-iger Sicherheit ohne großes Nachdenken feststellen (also ja oder nein). Die Begründung lässt sich aber wohl nicht ganz so einfach erraten. Wem Bleistift und Papier (und gegebenenfalls größere Mengen Radiergummi) zu unflexibel sind, der kann mit einem Geometrieprogramm wie GEONExT von der Uni Bayreuth in der Grundkonstruktion die Punkte verschieben und zusehen, wie sich dabei irgendwelche Winkelhalbierenden, abhängige Punke (oder was auch immer Sinn macht) verändern. Außerdem hat man dann auch schon eine Skizze, die sich in der Dokumentation der Lösung dieser dritten Aufgabe sinnvoll wiederverwenden lässt.

Aufgabe 4

Die letzte Aufgabe ist nach meiner Einschätzung auch die schwierigste dieses Jahr, auch wenn sie vielleicht auf den ersten Blick wie eine einfache Rechenaufgabe aussieht. Aber wer nur hier bei der vierten Aufgabe nicht weiterkommt, hat grundsätzlich noch die Möglichkeit, trotzdem in die zweite Runde des Wettbewerbs zu kommen. Drei (korrekte) Lösungen reichen ja aus. Nur werden die Aufgaben in der 2. Runde natürlich nicht einfacher …

An dieser Stelle auch noch ein kleiner Tipp: Wer die Formeleditoren von Word und OpenOffice/LibreOffice unpraktisch findet, kann sich LaTeX anschauen. Das produziert sehr schönen Formelsatz (und auch sonst professionell aussehende Textdokumente) und ist in vielen mathematischen Bereichen praktisch Standard. Leider ist es auch nicht ganz einfach zu lernen (man muss wie bei HTML die Befehle kennen). Wer sich das nicht antun will, kann einen grafischen Editor für LaTeX verwenden, ich kann LyX (OpenSource, deutschsprachig und kostenlos) sehr empfehlen.

PS: Schon zum zweiten Mal die Zahl „2011“ …

Fazit

Größere Überraschungen gibt es auch dieses Jahr nicht. Im Gegensatz zu den letzten Jahren gibt es keine Aufgabe, bei der nur eine bereits vorgegebene Aussage bewiesen werden muss (im Sinne von „man zeige, dass …“). Nach meiner Meinung steigt auch dieses Jahr wieder die Schwierigkeit der Aufgaben zum Ende hin an.

Ach ja, noch was: Nach Ablauf der ersten Runde werden normalerweise Musterlösungen auf der Website des Bundeswettbewerbs bereitgestellt. Wer also die Lösungen haben will, ohne sie zu rechnen, muss einfach nur ein paar Monate warten. Wer beim Wettbewerb mitmacht bekommt diese Lösungen erfahrungsgemäß sogar per Post mit den Korrekturergebnissen der ersten Runde.

Ich wünsche allen Teilnehmern des BWM 2011 viel Erfolg!

Mathematik-Adventskalender der DFG

Wenn ich hier schon reihenweise irgendwelche Wettbewerbe ankündige, dann will ich das wenigstens einigermaßen vollständig tun. Also: Wie schon mehrere Jahre zuvor startet am 1. Dezember wieder der Mathekalender der DFG (Deutschen Forschungsgemeinschaft). Es gibt also wieder an jedem Tag vom 1. bis zum 24. Dezember eine Matheaufgabe zum knobeln (wie es sich für einen Adventskalender eben gehört).

Der Wettbewerb ist dieses Jahr in drei Altersgruppen eingeteilt. Neben der nach oben offenen Kategorie „ab 10. Klasse“ (also auch für Studenten und ausgewachsene Mathematiker) gibt es noch extra Kalender für die 4. bis 6. und die 7. bis 9. Klasse (mit voraussichtlich entsprechend einfacheren Aufgabenstellungen). Zu gewinnen gibt es diverse Preise, die von unterschiedlichen Sponsoren gestellt werden, darunter unter anderem Computer und Taschenrechner.

Freigeschaltet wird jede Aufgabe im Adventskalender um 18:00 Uhr des jeweiligen Tages und bis 24:00 kann die entsprechende Lösung eingereicht werden. Wenn man die Aufgabe später abschickt und keinen der drei Zeitjoker einsetzt, wird die Stafzeit erfasst. Die genauen Regeln finden sich hier.

Noch ein kleiner Tipp aus meiner Erfahrung: Ein Blick ins Forum des Mathe-Adventskalenders lohnt sich oft, gerade wenn man sich nicht auf Anhieb sicher ist, wie eine Aufgabe zu verstehen ist. Gelegentlich wurden in der Vergangenheit auch die Aufgaben selbst noch um zusätzliche Kommentare ergänzt.

Ich wünsche allen Teilnehmern eine frohe und mathematische Adventszeit.