Rechnen mit Wolfram Alpha – Die Syntax

Wie ich vor einiger Zeit schon einmal beschrieben habe, kann man sowohl mit Wolfram Alpha als auch mit Google viele Berechnungen schnell im Browser durchführen. Gerade Wolfram Alpha ersetzt dabei nicht nur den Windows Rechner sondern kann auch mathematische Aufgaben übernehmen, die sonst grafischen Taschenrechnern und Computeralgebrasystemen vorbehalten sind – und das für den Privatgebrauch kostenlos (wenn man nicht gerade mit dem IPhone unterwegs ist, für das gibt ’s natürlich eine App, aber nicht umsonst 😉 ). Eine Besonderheit von Wolfram Alpha ist dabei noch, dass es zusätzlich zur Lösung noch eine größere Menge an Zusatzinformationen und oft sogar einen Lösungsweg angibt. Während Wolfram Alpha bei einfacheren Aufgaben noch recht gut errät, was der Benutzer eigentlich wollte, kommt es bei komplexeren Aufgaben aber gelegentlich zu Kommunikationsproblemen.

Deshalb habe ich hier ein paar Beispiele zusammengestellt, die (auf Deutsch) erklären, wie man bestimmte Aufgabentypen mit Wolfram Alpha bequem lösen kann:

Vorsicht: Wolfram Alpha ist grundsätzlich Englisch. Statt des Kommas sollte als Dezimaltrennzeichen immer ein Punkt verwendet werden! Wem allerdings ein englischer Fachbegriff gerade nicht einfällt, der kann es durchaus mal auf Deutsch versuchen. Machmal erkennt Wolfram Alpha, dass eine gestellte Anfrage auf Deutsch mehr Sinn macht und versucht eine Übersetzung vom Deutschen ins Englische. So ergibt zum Beispiel die (deutsche) Anfrage „Ableitung von x^3“ die korrekte Antwort (allerdings auf Englisch).

Grundrechenarten, Trigonometrie, Wurzeln und Potenzen

Als Symbole für die Grundrechenarten können einfach + , – , *  und / verwendet verwendet werden. Potenzen lassen sich in der Form e^x eingeben, Quadratwurzeln als sqrt(144) schreiben. Trigonometrische Funktionen heißen wenig überraschend sin(x), cos(x) , arcsin u.s.w., wobei Eingaben in Grad auch mit dem Grad-Zeichen gekennzeichnet werden sollten (links oben auf jeder normalen Tastatur). Wie bei den meisten Rechnern empfiehlt es sich auch hier, lieber ein paar Klammern zu viel als eine zu wenig zu setzen. Normalerweise zeigt Wolfram alpha auch noch einmal sauber dargestellt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

Dazu braucht jetzt niemand ein Beispiel, oder? (Ich höre niemanden …)

Nachtrag: mathematisches Runden (im Zweifel zur nächsten Geraden Zahl) geht mir „round(x)“, Abrunden funktioniert mit „floor(x)“ und Aufrunden mit „ceil(x)“. Und für das Rechnen mit komplexen Zahlen ist eventuell auch noch das komplex konjugierte einer Zahl nützlich, man erhält es mit „conjugate(2+2i)“. Auch mit Summen kann Wolfram Alpha selbstverständlich rechnen, unter anderem funktioniert folgende Darstellung: „sum 2^-j, j=1 to infinity“.

Und falls jemand einen Binomialkoeffizienten berechnet haben  möchte: 6 über 3 lässt sich sinnigerweise mit „binomial(6,3)“ berechnen.

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Zum Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten schreibt man am einfachsten „solve“ gefolgt von der Gleichung und hängt hinten an die Gleichung noch mit „for“ an, nach welcher Variable aufgelöst werden soll (z.B. „solve a^2+4ab+b^2=1 for a“). Das Lösen von Ungleichungen funktioniert entsprechend, wobei zweidimensionale Ungleichungen sogar gelegentlich recht ansprechende Schaubilder ergeben.

Zum Lösen von Gleichungssystemen können die Gleichungen mit Kommata getrennt hintereinander geschrieben werden: „solve W=m*c^2,m=M/sqrt(1-v^2/c^2) for M

Plotten von Funktionen

Um die Schaubilder von einer oder mehreren Funktionen zu erhalten scheibt man „plot“, dann die Funktionen (gegebenenfalls durch ein Komma getrennt) und falls gewünscht noch eine Begrenzung des Zeichenbereichs: „plot x^2,sin(5x^2)*x^2,x=0..3,y=0..5„.

Konstanten und Einheiten

Die elementaren mathematischen Konstanten werden normalerweise erkannt, wenn man einfach nur e, i (imaginäre Zahl) oder pi schreibt. Mit komplexen Zahlen rechnet Wolfram Alpha im Übrigen anstandslos. Für Unendlich schreibt man einfach „infinity“. Physikalische Konstanten lassen sich in der Regel mit zwei Worten beschreiben. Die Elementarladung etwa lässt sich mit „elementary charge“ oder auch „charge electron“ abfragen. Massen lassen sich entsprechend mit „mass proton“ oder Ähnlichem abfragen.

Bei Einheiten gilt im Zweifelsfall: Wenn die Abkürzung nicht erkannt wird, einfach die volle Bezeichnung verwenden.

Grenzwertbetrachtung

Den Grenzwert einer Funktion (Limes) erhält man am einfachsten mit der Form „lim e^-x as x->infinity“. Einseitige Grenzwerte lassen sich durch ein angehängtes + oder – kennzeichnen (auch wenn Wolfram Alpha trotzdem noch auf das „limit from opposite direction“ hinweist).

Integrale und Ableitungen

Natürlich beherrscht Wolfram Alpha auch Differentialrechnung. Einfache Ableitungen funktionieren mit „derivative x^2“. Mehrfache Ableitungen funktionieren zum Beispiel mit „4th derivative x^5“, aber auch die Schreibweise „d^4(x^5)/dx^4“ ist zulässig.

Stammfunktionen (das heißt unbestimmte Integrale) lassen sich folgendermaßen berechnen: „integrate e^(ax) dx“. Bei bestimmten Integralen wird noch „from“ und „to“ angehängt: „integrate e^(ax) dx from 0 to a“.

Selbst die Lösung Differenzialgleichungen lässt sich berechnen, aber ich schaffe es im Moment nur durch die Eingabe der „nackten“ Gleichung „1/(R*C)=-d(f(t))/dt/f(t)“.

Vektoren und Matrizen

Vektoren werden in Wolfram Alpha mit geschweiften Klammern geschrieben, wobei die einzelnen Komponenten durch Kommata getrennt werden. Das Kreuzprodukt wird durch „*“ dargestellt, für das Skalarprodukt verwendet man stattdessen einen Punkt (zum Beispiel „{3,1,2}.{1,-2,3}“). Die Länge eines Vektors erhält man beispielsweise mit „norm({1,1,0})“.

Matrizen werden grundsätzlich aus ihren Zeilenvektoren, die wiederum von Kommata getrennt in geschweifte Klammern geschrieben werden, zusammen gesetzt. Eine transponierte Matrix erhält man in Wolfram Alpha mit „transpose()“. Das Ganze sieht dann beispielsweise so aus: „{{0,1},{1,0}}*transpose{{x,y}}=transpose{{1,2}}“.

Weiteres

Da sich Wolfram Alpha weniger um strenge Syntax als um eine intuitive Interpretation bemüht, hilft im Zweifelsfall manchmal auch ein wenig ausprobieren. Oft bringt auch schon die Eingabe einer Formel/Gleichung o.ä. ohne weitere Anweisungen das Ergebnis.

Auch ein Blick auf die offiziellen Beispiele für die Verwendung von Wolfram Alpha (nicht nur für mathematische Anwendungen) ist oft hilfreich.

Edit 27.05.2013: Nach Hinweis eines Lesers (vielen Dank dafür) die Beschreibung des Skalarprodukts korrigiert/aktualisiert.

Edit 12.04.2014: Kleine Überarbeitung an Text (vor allem zum Umgang mit deutschsprachigen Anfragen) und Darstellung.

Viel Licht – wie wird das gemessen?

In meinem letzten Post zum Thema Licht habe ich mich mit dem Unterschied zwischen der fotometrischen Einheit Lumen und (radiometrischen) Einheit Watt beschäftigt. Neben dem in Lumen (lm) gemessenen Lichtstrom gibt es aber noch eine ganze Reihe weiterer fotometrischer Größen und Einheiten, die man braucht, um Licht in verschiedenen Situationen korrekt zu beschreiben. Sie alle hängen direkt mit der Definition des Lumen zusammen. Hier eine kompakte Übersicht:

Lichtstärke (in Candela)

Die Lichtstärke gibt an, wie viel Licht pro Richtung abgegeben wird. Damit lässt sich beispielsweise auch für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlen, für die verschiedenen Teile eines Strahles angeben, wie viel Licht in die jeweilige Richtung abgegeben wird. Die Lichtstärke entspricht physikalisch dem Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit und wird dementsprechend in Lumen pro Steradiant angegeben (dies ist die Definition der SI-Einheit Candela kurz cd).

Leuchtdichte (in Candela pro Quadratmeter)

Als wie hell wir eine abstrahlende Fläche empfinden hängt davon ab, wie viel Licht in Richtung unserer Augen pro Fläche abgegeben wird. Das heißt wir müssen um dies zu messen die Lichtstärke durch die Fläche von der das Licht ausgeht teilen und erhalten damit die Leuchtdichte in Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Spezifische Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke (in Lux)

Will man angeben wie viel Licht in einer bestimmten Umgebung auf Flächen bestimmter Größe einwirkt, das heißt wie hell es zum Beispiel in einem Raum insgesamt ist (dies wird als Beleuchtungsstärke bezeichnet), oder wie viel Licht entsprechend von einer Fläche in alle Richtungen abgestrahlt wird, so kann man dies in der Einheit Lux (kurz lx) tun. Ein Lux entspricht einem Lumen pro Quadratmeter (lm/m²).

Weitere Informationen

Mehr Informationen zu den einzelnen Größen und Einheiten findet sich großzügig verlinkt auf der Wikipediaseite zur Fotometrie und mit anschaulichen Grafiken und Beispielwerten auch in dieser .pdf-Datei.

Die Erleuchtung – Licht messen und beschreiben

Licht spielt nicht nur im naturwissenschaftlichen Unterricht sondern auch im Alltag für uns eine wichtige Rolle (die meisten werden diesen Text mithilfe von Licht aufnehmen). Nachdem in der Schule selten wirklich übersichtlich dargestellt wird, was Helligkeit, Lichtstärke, Lichtstrom und diverse weitere Größen eigentlich sind und je nach Fach und Lehrer diese Größen auch nicht immer ganz korrekt verwendet werden, will ich mich in der nächsten Zeit unter anderem mit der Messung und Beschreibung von Licht beschäftigen.

Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt:

Tipps zu Google-Rechner – Wie Google (nicht) rechnen kann

Nicht jeder Google-Benutzer weiß, dass sich im normalen Sucheingabefeld rechnen lässt. Im Wesentlichen identisch funktioniert das auch bei bing und Yahoo. Wolfram Alpha bringt sogar einige zusätzliche Möglichkeiten mit (hier ein Vergleich von Google und Wolfram Alpha).

Die offizielle Google-Dokumentation dazu ist äußerst knapp. Wer wissen will, welche Rechenoperatoren Google zur Verfügung stellt kann beispielsweise hier nachschauen: Es stehen auch Winkelfunktionen, die Fakultät, Wurzeln und diverse andere Funktionen sowie einige mathematische Konstanten zur Verfügung. Darüber hinaus lassen sich auch physikalische Einheiten ineinander umrechen.

Vor Kurzem gab es Meldungen darüber, dass sich Google bei großen Zahlen in bestimmten Fällen verrechnet. Das funktioniert, wie man schnell nachprüfen kann, immer noch. Allerdings ist das ein grundsätzliches Problem fast aller Taschenrechner. Sie rechnen nur mit beschränkter Genauigkeit, sodass praktisch immer nur eine bestimmte Anzahl Stellen tatsächlich genau ist. Ein ähnlicher Fehler tritt auch auf, wenn man sehr unterschiedlich große Zahlen miteinander verrechnet. Wenn man zum Beispiel von der Zahl Eins die Zahl 10 hoch -10 abzieht (das korrekte Ergebnis wäre 0,9999999999) erhält man bei Google ebenfalls ein falsches Ergebnis (1 in diesem Fall). Wolfram Alpha zeigt hier ein genaues Ergebnis an, selbst wenn man das Ganze noch etwas weiter spinnt (hier auf tausend Nachkommastellen genau!). Wer also beispielsweise für wissenschaftliche Zwecke genaue Berechnungen anstellen möchte, sollte sich vorher genau anschauen, wie genau der verwendete Rechner – ob offline oder online – tatsächlich ist. Die meisten handelsüblichen Taschenrechner rechnen nach meiner Erfahrung mit ungefähr acht bis zwölf gültigen Dezimalstellen.

Wenn die Prognose die Ergebnisse beeinflusst

Dieser Beitrag ist Teil der Serie „Traue keiner Statistik, die Du nicht selbst gefälscht hast“.

Gerade jetzt in der Wirtschaftskrise (auch wenn es im Moment gefühlt aufwärts geht) hört man gelegentlich die Befürchtung, dass schlechte Prognosen der Stimmung der Bevölkerung und letztlich auch der Wirtschaft schaden. Damit kommt ein ganz wichtiger Punkt zur Sprache: Viele Prognosen beeinflussen selbst den prognostizierten Sachverhalt. Das kann auf unterschiedliche Weise geschehen.

Selbsterfüllende Prophezeiung (self-fulfilling prophecy)

In vielen Fällen beeinflusst eine Prognose das tatsächliche Geschehen so, dass tendentiell die vorausgesagten Ereignisse eher eintreffen. Das kann auf individueller psychologischer Ebene (wenn jemand prognostiziert das etwas gegen eine Krankheit hilft, wirkt evtl. der Placeboeffekt) aber wie oben beschrieben auch auf Ebene weltweiter Wirtschaftssysteme passieren. Deshalb:

  1. Nie behaupten, dass die Bank bei der das eigene Geld liegt bald pleite ist, sonst ist sie ’s irgendwann tatsächlich…
  2. Erst Aktien kaufen, und anschließend prognostizieren, dass ihr Kurs steigt 😉 Ich sehe allerdings gerade, dass die Idee weder neu noch legal ist 🙁

Selbstzerstörende Prophezeiung (self-defeating prophecy)

Aber auch das Gegenteil einer selbsterfüllenden Prophezeiung ist möglich: Eine Prognose kann das Eintreffen ihrer Voraussagen verhindern. Relativ genaue Vorhersagen eines Unglücks können zum Beispiel bewirken, dass Maßnahmen eingeleitet werden, die das beschriebene Unglück unmöglich machen. Das Jahr 2000-Problem dürfte beispielsweise durch recht düstere Prognosen im Vorfeld deutlich abgemildert worden sein (wenn die schlimmsten Prognosen zugetroffen hätten, wären wir heute wahrscheinlich nicht mehr hier).

Fazit

Menschen die Prognosen anstellen müssen, sollten sich, wenn die Prognose hinreichend respektiert ist, auch Gedanken darüber machen, was ihre eigene (und ggf. ähnliche) Prognosen bewirkt. Damit haben sie auch ein wenig Macht und es stellt sich die Frage, ob man allzu negative Prognosen z.B. in wirtschaftlich schwierigen Zeiten überhaupt noch veröffentlichen sollte – ich habe allerdings Zweifel, dass der Verzicht auf eine Prognose als positives Signal aufgenommen wird. Und je mehr man über die Zukunft weiß, desto besser kann man sich darauf vorbereiten – normalerweiße.

bleibt noch zu sagen…

…das gelegentlich auch Statistiken ohne echte Prognosen Auswirkungen auf die Zukunft haben, die sie (die Statistik) eher nicht haben sollten, aber passt das hier ‚rein?

von xkcd.com (auf 's Bild klicken)
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